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doppelte Atwoodsche Fallmaschine
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> doppelte Atwoodsche Fallmaschine
 
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Sotha Sil
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Anmeldungsdatum: 29.09.2006
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 11:24:50    Titel: doppelte Atwoodsche Fallmaschine

Hallo liebe Physikbegeisterte,

wir haben folgende Aufgabe in unserer Übung gehabt und ich habe nach mehreren Stunden immer noch nicht herausgefunden, wo der Denkfehler bei mir liegt.

Wir sollen die Zugkräfte und die Beschleunigung der mittleren Masse einer folgenden Konstruktion beschreiben:

2 feste Rollen. Auf jeweils beiden Seiten der Rolle ist ein Massestück der Masse m befestigt (Atwoodsche Fallmaschine). Allerdings sind beide Rollen verbunden, nämlich dadurch, dass ein Massestück an beiden Rollen befestigt ist, sodass letztlich 3 Massestücke vorhanden sind: An der ersten Rolle hängt links ein Massestück der Masse m, in der Mitte auch ein Massestück der Masse m, das an beide Rollen befestigt ist und rechts hängt an der zweiten Rolle wieder eine Masse m.

So jetzt zu meinen Gedanken:
Durch feste Rollen wird die Kraft lediglich umgelenkt (in unserem Beispiel um 180°, also genau antiparallel). Die einzigen wirkenden Kräfte sind die Gewichtskräfte der Massen.

Das heißt: Auf die linke Masse wirkt seine eigene Gewichtskraft und die Kraft, die die mittlere Masse auf der anderen Seite der Rolle dieser entgegenwirkt. Für die rechte Rolle gilt das Gleiche.
Weiterhin habe ich mir anschaulich überlegt, dass wenn eine Kraft auf 2 Aufhängungen wirkt, teilt sich diese Kraft gleichmäßig auf beide Aufhängungen auf (wenn zwei Leute einen Kasten schleppen, muss jeder von ihnen nur die Hälfte der Gewichtskraft des Kastens aufbringen)

Betrachten wir also die auf die linke Masse wirkende Kraft Fresl(und die rechte analog).

Fresl = FGl - 1/2*FGm

(FGl - Gewichtskraft der linken Masse, FGr - Gewichtskraft der rechten Masse, FGm - Gewichtskraft der mittleren Masse)

1/2 FGm kommt daher, dass sich die Kraft der mittleren schweren Masse gleichmäßig auf beide Rollen aufteilt und minus deswegen, weil diese Kraft durch die Rolle entgegen der Gewichtskraft der linken Masse wirkt.

bekommen wir also:

Fresl = m*g - 1/2m*g = 1/2 m*g

Daraus kann man die Beschleunigung berechnen (2. Newton'sches Axiom)

al=Fresl/m = 1/2*m*g/m = 1/2*g

selbiges gilt auch dür die rechte Masse

So jetzt die Mitte:

Auf die mittlere Masse wirken insgesamt 3 Kräfte: seine eigene Gewichtskraft FGm, die Kraft der linken Masse über die linke Rolle und die Kraft der rechten Masse über die rechte Rolle

Fresm = FGm - FGr - FGl

minus wieder deshalb, weil über die Rolle die Gewichtskraft der linken Masse eine entgegengesetzte Kraft zur Gewichtskraft der mittleren Masse erzeugt.

Fresm = m*g - m*g - m*g = -m*g

am = Fresm/m = -m*g/m = -g

Damit wäre die Aufgabe theoretische gelöst.
Fzugl = Fresl = 1/2m*g

am = -g

So jetzt kommt aber das, was mich die ganze Zeit beschäftigt: Die Beschleunigung der mittleren Masse ist -g, die Beschleunigung der linken und rechten jeweils 1/2g.
Das kann doch aber unmöglich sein, dass die mittlere Masse eine höhere Beschleunigung hat und damit pro Zeit auch einen größeren Weg zurücklegt, weil die Seile an den Rollen sind endlich lang und haben eine konstante Länge (Dehnungen werden vernachlässigt). Da sich die Länge der Seile nicht ändert muss zwangsläufig wenn die mittlere Masse sich 1 cm nach oben bewegt, die linke und rechte Masse sich jeweils 1 cm nach unten bewegen und daher die Beschleunigungen aller 3 Massen vom Betrag her gleich sein.

Wo ist jetzt mein Denkfehler?
Oldy
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 500

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 13:10:21    Titel:

Eine Masse, die einer Beschleunigung unterliegt, zieht nicht mit der eigenen Gewichtskraft am Seil sondern, je nach Richtung der Beschleunigung mit einer größeren oder kleineren. Man muss also die Trägheitskräfte mit berücksichtigen!

Beispiel: Je stärker ein Aufzug abwärts beschleunigt, um so geringer sind die Kräfte im Seil. Das Extrem wäre der freie fallende Aufzug (a=g), dann wirkt keine Kraft im Seil. Wenn der Aufzug dagegen aufwärts beschleunigt, müssen die Seilkräfte größer als die Gewichtskraft der Last sein und zwar um so mehr, je größer die Beschleunigung ist.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 13:19:30    Titel:

Du kannst dir die Betrachtung der Sache vereinfachen, indem du die Anordnung in der Mitte zusammenklappst. Sie ist gleichwertig mit einer Maschine bei der an einer einzigen festen Rolle auf einer Seite 2m und auf der anderen m hängt.

Gruß
mike
Sotha Sil
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Anmeldungsdatum: 29.09.2006
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 14:02:41    Titel:

Hmm ja, da habe ich denselben Denkfehler.
Danke Oldy schon mal für den Tipp, aber leider weiß ich nicht, wie ich die Trägheitskräfte berücksichtige.

Wenn ich das vereinfache auf eine Rolle ensteht dasselbe Problem:

Es wirken die Gewichtskraft des Massestücks links FGl = 2m*g und des Massestücks rechts FGr = m*g

So auf das linke Seilstück wirkt die Gegenkraft des rechten Massestücks mit -m*g und natürlich die Gewichtskraft des auf der Seite liegenden Massestücks 2m*g
Daher haben wir eine resultierende Kraft von Fresl = FGl - FGr = m*g
auf der rechten Seiten haben wirs genau umgekehrt, wodurch Fresr = -m*g ist.

Rechnet man jetzt die Beschleunigungen aus, hätte man
al = Fresl/2m = m*g/2m = g/2
ar = Fresr/m = -m*g/m = -g

Aber das kann wie gesagt ja nicht sein. Die Beschleunigungen müssen auf beiden Seiten ja gleichgroß sein.
Oldy
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 500

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2013 - 17:14:39    Titel:

Auf die linke Masse wirkt die eigene Gewichtskraft 2*m*g und dagegen wirkt die Seilzugkraft FS. Das Seil zieht an beiden Lasten gleich (Seilspannung). Die Seilzugkraft ist nicht gleich m*g, sondern um die von der rechten Masse verursachten Trägheitskraft größer. (Und um die Trägheitskraft der linken Masse kleiner als 2*m*g .)

Für die linke Masse gilt:
2*m*a = Gewichtskraft_links - Seilzugkraft = 2*m*g - FS

Und für die rechte Masse:
m*a = Gewichtskraft_rechts - Seilzugkraft = FS - m*g

Die Beschleungiung ist für beiden Massen gleich groß (=a), ebenso die Seilzugkraft FS. Man hat somit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten a und FS.

Auf das Ergebnis a = g/3 kommt man jedoch auch direkter:
links zieht 2 x m*g, rechts 1 x m*g dagegen. Die resultierende Kraft ist also 1 x m*g. Und dies Kraft muss die Masse 3*m beschleunigen.

Nachdem man die Beschleungigung kennt, kann man auch die Trägheitskräfte angeben.
FT_links = 2*m*a = 2/3 * m*g
FT_rechts = 1*m*a = 1/3 * m*g

Über das Seil wirkt zum Beispiel auf die Masse links also nicht allein das Gewicht der rechten Masse sondern Gewicht_rechts + Trägheitskraft_rechts, da die rechte Masse nach oben beschleunigt wird: m*g+1/3*m*g = 4/3 * m*g.
Das ist die Seilzugkraft.
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2013 - 06:43:35    Titel:

Um auf deinen anfänglichen Denkansatz zurückzukommen: einfach in der Mitte einen Schnitt zu machenund dann zu sagen, der Rest auf der anderen Seite interessiert mich nicht, ist hier ein wenig irreführend. Die rechte Masse wirkt über das Seil bis zur linken Masse durch, und umgekehrt.

Mikes Hilfestellung macht das deutlich: wenn du die Maschine um die Symmetrieachse z.B. nach links zusammenklappst, hast du links 2m und rechts m. Das kannst du aber nur machen, weil nicht nur die Geometrie des Aufbaus symmetrisch ist, sondern auch die Massenverteilung. Die mittlere Rolle dreht sich nicht. Du kannst sie durch einen Haken ersetzen, an dem die mittlere Masse hängt, und dann klppt's auch mit dem Umklappen. Und es ist erkennbar (das hattest du ja auch eingangs vermutet), dass jede der Massen der gleichen Beschleunigung unterworfen ist.

Um in deinem anfänglichen Denkansatz, diesmal aber mit umgeklappter Machine, fortzufahren: links ziehen 2*m*g und von rechts hält m*g dagegen. Bleibt nach Verrechnung noch m*g übrig. Und diese Kraft muss nun alle drei Massen (bzw. die eine doppelte Masse und die andere einzelne Masse) beschleunigen. Bleibt also a=m*g/(3*m)=1/3*g.
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