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Integration
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softis123
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Anmeldungsdatum: 23.09.2013
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 22:21:45    Titel: Integration

Hallo,

ich soll in meiner aufgabe den flächeninhalt der funktion

f(x)= x*(1-ln(x))

berechnen. Die untere Grenze ist "1" und die obere "e".


Da ich ja ein Produkt habe, muss ich ja die partielle integration anweden.

gewählt habe ich dann:

u(x)=1-ln(X) u'(x)=-1/x
v'(x)=x v(x)=1/2x^2

ist der ansatz soweit richtig?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 22:37:54    Titel:

Ja, wenn du dich zu einer klaren Klammersetzung durchringen kannst:
(1/2)x^2 oder 1/(2x)^2 oder 1/(2x^2)?

Gruß
mike
softis123
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Anmeldungsdatum: 23.09.2013
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 22:43:11    Titel:

(1/2)x^2 soll es sein Wink

wenn ich nun die partielle integration ausführe, kommt aber leider nicht das richtige raus.
bei mir kommt das raus:

1-ln(x)*(1/2)x^2+ln(x)*(1/6)x^3
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 22:48:25    Titel:

Dann hast du was falsch gemacht. Denn das liefert als Stammfunktion



Wo hast du denn das Sechstel und die dritte Potenz her? Dazu musst du doch v noch einmal integriert haben. Warum denn das?

Gruß
mike
softis123
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Anmeldungsdatum: 23.09.2013
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 22:59:46    Titel:

naja die formel lautet ja:

integral uv' dx = uv - integral u'v dx

das sechstel und die potenz kommt halt durch das integrieren von (1/2)^2 welches ja gleich (1/6)x^3 ergibt.

wie du auf deine lösung kommst, verstehe ich nicht ganz.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 23:01:10    Titel:

Darauf kome ich, indem ich bei ∫u'v dx den richtigen Integranden verwendet habe.

Gruß
mike
softis123
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Anmeldungsdatum: 23.09.2013
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 23:08:42    Titel:

..- ∫ [(-1/x)*(1/2)x^2] dx

= (-ln(x))*(1/6)x^3

ich seh leider meinen fehler nicht..
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 23:14:03    Titel:

Wenn du ein Produkt von Funktionen integrierst, indem du jeden Faktor einzeln integrierst, wozu brauchst du dann überhaupt eine partielle Integration?

∫x*(1-ln x)dx liefert dann ohne Aufwand (1/2)x²*(-1/x).

Gruß
mike
softis123
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Anmeldungsdatum: 23.09.2013
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 23:23:24    Titel:

ok, das kann ich nachvollziehen.

sprich ich muss bei ∫ [(-1/x)*(1/2)x^2] dx nochmal eine partielle integration machen, richtig?

wähle ich dann u(x)= (-1/x) und v'(x)= (1/2)x^2 ?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 00:50:09    Titel:

Dabei entstünde dann wieder ein ∫u'v dx. Und wenn du das dann wieder partiell integrierst, kannst du das Spiel womoglich ad infinitum treiben.

Im übrigen wäre das mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Denn der Integrand [(-1/x)*(1/2)x^2] lässt sich durch Zusammenfassen wesentlich vereinfachen. Der Trick bei der partiellen Integration ist ja gerade, zu erreichen, dass man das Restintegral ∫u'v dx direkt integrieren kann.

Gruß
mike
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