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Polynomgleichung, komplexe Koeffizienten
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apfel_2
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Anmeldungsdatum: 06.11.2013
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2013 - 23:43:24    Titel: Polynomgleichung, komplexe Koeffizienten

Hey Leute.

Es beschäftigt mich ein Beweis, der einfach zu sein scheint, aber mir seit stundenlangem Überlegen nicht einfällt.
Es geht um ein Polynom p ∈ C mit komplexen Koeffizienten.

Die Behauptung lautet: Es gilt p(x) ∈ R für alle x ∈ R genau dann, wenn p = p ̄ (Konjunktion von p).

Ein Hinweis: Es soll gezeigt werden, dass aus p(x) ∈ R folgt, dass das Polynom p − p ̄ unendlich viele Nullstellen hat.

Jemand Ideen?
Danke im Voraus.[/tex]
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 10:47:27    Titel:

Der Tipp ist doch schon die Lösung...

Cyrix
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 10:55:24    Titel:

1. Teil
p(x) = y ∈ R für alle x ∈ R genau dann, wenn p = p ̄ (Konjunktion von p).
Eine vage Idee...

Damit


Hilft das?
apfel_2
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Anmeldungsdatum: 06.11.2013
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 12:43:30    Titel:

@hilber raum: danke dein Ansatz hat mir sehr weitergeholfen.
@cyrix42: warum ist der Hinweis die Lösung? Kannst du es genauer erläutern?

Hat jemand eine Idee wie man zeigen kann, dass die Nullstellen von p − p ̄ (Konjugation von p) unendlich sind und warum mir das im Beweis weiterhelfen sollte?
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2202

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 13:13:01    Titel:

apfel_2 hat folgendes geschrieben:

Hat jemand eine Idee wie man zeigen kann, dass die Nullstellen von p − p ̄ (Konjugation von p) unendlich sind und warum mir das im Beweis weiterhelfen sollte?

Guck Dir doch mal an, was für reelle x passiert mit p-p ̄. Und dann überleg Dir wieviele Nullstellen ein Polynom denn so allgemein hat.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2013 - 14:29:36    Titel:

Hallo!

Beachte, dass für reelle x

(p(x)) ̄ =p ̄ (x ̄ )=p ̄ (x) ist.


Cyrix
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