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Vollständige Induktion einer Ungleichung
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Xandie
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Anmeldungsdatum: 25.10.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Erfurt

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2013 - 15:25:41    Titel: Vollständige Induktion einer Ungleichung

Hallo liebe Gemeinde,

ich komm mit meinem "Lieblingsthema" irgenddwie nicht zurecht Smile Mich bringt die ganze sache total durcheinander. Wäre supi wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Ich komme bei dem Induktionsschritt nicht weiter.

n!≤2(n^(n-2)) für alle n ≥ 2 soll bewiesen werden

Indukrionsanfang: würde ich mit n=2 machen
2! ≤ 2(2^(2-2))
2 *1 ≤ 2 * 1
2 ≤ 2 => Gleichung gilt

Induktionsannahme: dafür würde ich zur verdeutlichung n=k setzen
k!≤ 2(k^(k-2))

Indukrionsschritt: nun zeigen das es auch für den Nachfolger gilt

(k+1)! ≤ 2((k+1)^((k+1) -2)

k! * (k+1) ≤ 2((k+1)^((k+1) -2)

Bei einer normalen Gleichung würde ich jetzt K! als 2(k^(k-2)) schreiben und umstellen. Aber hier finde ich das sehr verwirrend... Sad
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2013 - 15:52:59    Titel:

Der Induktionsschritt geht ganz zwanglos:

Fange mit (k+1)! an und zerlege das in (k+1)*k!.
Setze für k! nach der Induktionsvoraussetzung ein.
Schätze das k in der Basis der Potenz durch k+1 ab.
Beziehe den anfangs herausgezogenen und bis hier mitgeführten Faktor (k+1) in die Potenz ein.

Gruß
mike
Xandie
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Anmeldungsdatum: 25.10.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Erfurt

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2013 - 17:02:09    Titel:

Ich verstehe die vorgehensweise nicht Sad

in etwa so?? (k+1)! = k! * (1+k) ≤ 2(k^(k-2)) * (k+1)

Aber wie käme ich dann zu 2((k+1)^((k+1) -2))



Confused
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2013 - 20:19:09    Titel:

Zitat:
Schätze das k in der Basis der Potenz durch k+1 ab.


Gruß
mike
Xandie
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Anmeldungsdatum: 25.10.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Erfurt

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2013 - 17:08:43    Titel:

Danke schonmal für die Antworten Smile

Das k in der Basis ist quasi immer um zwei größer als sein Exponent und mit k+1 wird Basis und Exponent um 1 größer. Die Ungleichung ist auch erfüllt da k^(k-2) ja schneller wächst als K! .

Verstehe leider trotzdem nicht wie ich das ordnungsgemäß verdeutliche. Irgendwo fehlt mir nochwas zum Verständnis Rolling Eyes
Deniz
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2013 - 17:31:30    Titel:

Du sollst einfach die Basis abschätzen mittels

k < k+1

Dann steht es sofort da.

(k+1)!
= k! * (1+k)
≤ 2(k^(k-2)) * (k+1)
≤ 2 [(k+1)^(k-2) ] (k+1)
≤ 2 (k+1)^(k-1)

Ich glaube, Du hast den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.
Xandie
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Anmeldungsdatum: 25.10.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Erfurt

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2013 - 19:06:01    Titel:

Ach okay nun ergibt es Sinn Surprised

Ja da stand ich im Wald auf'n Schlauch Smile

Super danke @ Deniz und M_Hammer_Kruse

Schönen Abend!
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