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Isomorphismus (Spaßfrage)
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2005 - 01:18:29    Titel: Isomorphismus (Spaßfrage)

Hallo.

Ein Homomorphismus zwischen (R,0,+,<=) und (R^+,1,*,<=) ist bekanntermaßen eine Exponentialfunktion.

Warum gibt es keinen ordnungserhaltenden Isomorphismus zwischen (R,0,+,<=) und (R,1,*,<=)?

Mich interessiert weniger die Antwort, sondern die Zeit, die man für die Lösung braucht.
ozz
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Anmeldungsdatum: 20.05.2005
Beiträge: 336
Wohnort: Yellow Brick Road 1, Emerald City

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2005 - 10:56:28    Titel:

benötigte zeit: ca. 0,5 semester brutto denk ich mal Smile
lösung : bis jetzt noch keine ahnung *)

--was ist in deiner schreibweise das "<=" argument ?

ich lese den anfang als >> Reelle Zahlen: Körper mit (es exisitiert) neutrales element (bezüglich) operation "plus" >>

..so erinnere ich das in etwa, man definiert eine struktur als
(trägermenge, verknüpfung, NE diesbezgl.) (?)

ach ja: und dann sag mir als tip noch bitte ob ich die sache auch OHNE eine antwort auf diese frage hier lösen kann... *nachdenk* Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2005 - 12:11:19    Titel:

Zitat:
ich lese den anfang als >> Reelle Zahlen: Körper mit (es exisitiert) neutrales element (bezüglich) operation "plus" >>


Das liest Du schon richtig. Zu zeigen ist, dass es keine bijektiven Homomorphismus, der Ordnung erhält, gibt zwischen der geordneten additiven Gruppe der reellen Zahlen mit 0 und üblicher natürlicher Ordnung (<=) und einer geordneten multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen mit 1 (ohne die 0, habe ich vergessen) und der selbigen Ordnung (<=). Ein solcher Isomorphismus müsste folgende Bedingungen erfüllen:

f(a+b) = f(a)*f(b)
Wenn a <= b, dann auch f(a) <= f(b) (Monotonie im wesentlichen)
f(0) = f(1)

Ihr könnt auch Lösungen mitposten, wenn Ihr wollt Smile Ich wollte einfach nur wissen, ob die Aufgabe als "schwer" oder als "nichtschwer" einzustufen wäre. Ich würde dafür ca. 3 Minuten in einer Klausur geben, wobei die Frage: "beweise oder widerlege" lauten würde.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2005 - 15:09:32    Titel:

soll doch bestimmt heissen
f(0)=1, und nicht f(0)=f(1).

ich find so ne aufgabe eher schwer. hab kurz überlegt, keine idee gehabt und dann kein bock mehr drauf gehabt Smile
evtl wärs besser, wenn noch nen tipp dabei steht.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2005 - 15:46:45    Titel:

Zitat:
f(0)=1, und nicht f(0)=f(1).


Ja,ja. Verträglichkeit der nullstelligen Funktionen. Natürlich f(0) = 1. Sorry.

Zitat:
hab kurz überlegt, keine idee gehabt und dann kein bock mehr drauf gehabt


Ich würde mich halt freuen eine andere Lösung als meine zu sehen. Einen Tipp... Hmm. Man überlege sich was auf die -1 abgebildet wird.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jul 2005 - 16:24:14    Titel:

Meine Lösung wäre: Angenommen, es existiert ein solcher Isomorphismus f. Dann gibt es unter anderem ein a in lR mit f(a) = -1. Dann gilt aber

f(0) = f(a+(-a)) = f(a)*f(-a) = -1 * f(-a) = 1.

Letztere Gleichung ist in lR eindeutig lösbar und es gilt somit f(-a) = -1. Dumm aber, dass f(a) = f(-a) = -1, denn die 0 wird auf 1 abgebildet und kann somit nicht gleich a sein. Somit ist das aber wegen a <> -a in lR und f(a) = f(-a) ein Widerspruch zur Injektivität von f.
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