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Determinante
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trannel7
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Anmeldungsdatum: 01.11.2013
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2014 - 16:24:16    Titel: Determinante

Hallo zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich habe eine Determinante gegeben, deren Zeilen (als eine Zahl aufgefasst) jeweils durch 2014 teilbar sind. Nun soll ich zeigen, dass die gesamte Determinante durch 2014 teilbar ist.

Hat jemand eine Idee für eine Herangehensweise?

MfG
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2014 - 21:46:43    Titel:

Ich glaube fast, so allgemein kann man dazu kaum etwas sagen.
Das hängt wohl von der konkreten Determinante ab.
Du kannst uns die ja mal mitteilen.

Gruß
mike
trannel7
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Anmeldungsdatum: 01.11.2013
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2014 - 22:34:06    Titel:

Es handelt sich um folgende Determinante:



Alle Zeilen (als sechsstellige Zahl aufgefasst) sind jeweils durch 2014 teilbar. Der Wert der Determinante beträgt - 24168. Dies ist ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von 2014 (nämlich das -6.).

Ich finde die Aufgabe sehr spannend. Nur leider habe ich keine Idee für eine Herangehensweise.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2014 - 23:03:26    Titel:

Eigentlich ist es ganz einfach:

Du brauchst dafür nur zwei Determinantenregeln:
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn du zu einer Spalte ein beliebiges Vielfaches addierst.
und
- Wenn alle Elemente einer Spalte einen gemeinsamen Faktor haben, kannst du den aus der Determinante ausklammern.

Wenn es dir also gelingt, durch Spaltenadditionen eine Spalte zu schaffen, in der alle Elemente durch 2014 teilbar sind, dann bist du fertig.

Um so eine Spalte zu erzeugen, musst du etwas über Teilbarkeitsregeln wissen:

In der Schule lernt man nur ein paar elementare Teilbarkeitsregeln kennen (z. B. die Endziffernregeln für 2, 4, 5 oder 25, die Quersummenregel für 3 und 9, oder die etwas kompliziertere Regel für die 11).
Aber es gibt für jeden Divisor eine Teilbarkeitsregel. Für 7 z. B. lautet sie: "Eine Zahl mit der Zifferndarstellung <abcdef> ist genau dann durch 7 teilbar, wenn 5a+4b+6c+2d+3e+f dies ist. Bei Zahlen mit mehr als 6 Ziffern wiederholt sich dies zyklisch von rechts nach links."
Eigentlich ist dies nur eine etwas komplexere Quersummenregel. Mache dir klar, was eigentlich dahintersteckt (und als add-on vielleicht noch, dass die Endziffernregeln im Grunde nach dem selben Muster funktionieren).

Dann bastele dir eine Teilbarkeitsregel für 2014. Und wende sie auf die Zahlen an, die in den Zeilen der Determinante stehen.

(Wenn du dann mit der Aufgabe fertig bist, wird dir eine weitere Einsicht vor die Füße fallen. Diese Einsicht ist das wirklich Spannende an der Aufgabe.)

Gruß
mike
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