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Nullstellenbestimmung - Analysis
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Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 13:43:12    Titel: Nullstellenbestimmung - Analysis

Irgendwie habe ich bei der Berechnung von Nullstellen noch ein Problem.

Ich weiß z.b. dass zwischen x = 2,5 und x = 2,6 eine Nullstelle ist da dort ein Vorzeichenwechsel statt findet.

Wie kriege ich da nun den genauen Wert heraus bei meiner Funktion?

(Habe die Funktion mal nicht hingeschrieben, da ich nur wissen will ob es da ein genaues Verfahren gibt da mir dies z.b. bei Berechnungen von Extrempunkte/Wendepunkte Probleme macht.)
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8295
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 14:05:27    Titel:

Wenn du die Nullstelle exakt bestimmen willst, dann ist die Methode dazu von der Art der Funktion abhängig. Dazu braucht es schon die Funktionsgleichung.

Du kannst dich aber an eine Nullstelle auch durch Näherungsverfahren heranschleichen. Da gibt es dann wieder verschiedene. Am beliebtesten ist da wohl das Iterationsverfahren nach Newton.

Gruß
mike
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 14:34:28    Titel:

Die Funktion lautet 3x^4 - 12x³ + 12x² - 3.

Durch Probieren weiß ich dass 1 eine Nullstelle ist, aber irgendwie hängt es bei anderen Nullstellen.


Rein vom Gedanken kann ich dann die Polynomdivision machen soweit ich weiß. Allerdings weiß ich nicht ob dies zu lange braucht in Prüfungssituation. Ich kann mir auch nicht vorstellen dass der Ansatz zum herausfinden von Nullstellen allein dem Zufall überlassen ist ob ich irgendwie durch probieren eine Nullstelle finde...
kölscheklüngel
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Anmeldungsdatum: 02.02.2011
Beiträge: 325
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 15:09:38    Titel:

Du kannst auch das Horner-Schema anwenden. Geht deutlich schneller.
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 19:58:42    Titel:

Ich habe für die Formel 3x^4 - 12x³ + 12x² - 3 mal die Polynomdivision angewandt, aber komme selbst da nicht weiter. Könnte jemand mal drüber blicken und sagen was ich immer noch falsch mache?

Mein Plan war jetzt auf eine Gleichung des 2. Grades zu reduzieren um dann die p q Formel anzuwenden, aber bei der 2. Rechnung bleibt mir ein Rest übrig und da weiß ich nicht wie ich damit umgehen soll.

Probierverfahren:

f(x) = 3x^4 – 12x³ + 12x² – 3 = 0 x = 1

3*- 12*1³ + 12*1² – 3 = 0

---> Eine Nullstelle liegt bei (1;0)


Polynomdivision:

3x^4 – 12x³ + 12x² – 3 : (x – 1) = 3x³ – 9x² + 3x - 3
3x^4- 3x³
- 9x³ + 12x²
- 9x³ + 9x²
3x² - 3
3x² - 3x
- 3x - 3
- 3 x + 3
0

3x³ – 9x² + 3x – 3 = 0 x = - 1

3 x³ – 9x² + 3x – 3 : (x + 1) = 3x² – 6x + 9
3 x³ – 3 x²
- 6 x² + 3x
- 6 x² – 6x
9x - 3
9x + 9
Rest: 6 ---------------> falsche Aussage
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8295
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 20:33:40    Titel:

Erstens musst du bei deinen Polynomdivisionen den Dividenden auch einklammern:
Zitat:
(3x^4 – 12x³ + 12x² – 3) : (x – 1) =

So, wie du es geschrieben hast, steht da ja nur, dass 3 durch (x-1) geteilt werden soll.

Und zweitens ist dir bei der ersten Division ein Fehler unterlaufen:
Zitat:
- 3x - 3
- 3 x + 3
0

Da ist was falsch.

Gruß
mike
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 20:57:11    Titel:

Dann habe ich das Vorzeichen vertauscht?

Eigentlich rechne ich ja 0x - (-3x) und komme dann auf:

3x - 3
3x - 3
0

Dies würde dann meine Ausgangsgleichung von 3x³ – 9x² + 3x - 3 in 3x³ – 9x² + 3x + 3 ändern und erklären warum sich die letzten 2 Zahlen am Ende addieren anstatt sich aufheben.

Vielen herzlichen Dank für deinen Tipp, ich probier es gleich mal aus!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8295
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 20:59:51    Titel:

Ja, so ist die Division korrekt.
Und wenn du dir das so erhaltene Polynom anschaust, dann siehst du dem auch unschwer wieder eine Nullstelle an.

Gruß
mike
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 21:05:29    Titel:

Vielen Dank, du hast mir echt den Abend gerettet. Very Happy
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7394
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2014 - 21:28:28    Titel:

Der Sucher hat folgendes geschrieben:
Die Funktion lautet 3x^4 - 12x³ + 12x² - 3.

Durch Probieren weiß ich dass 1 eine Nullstelle ist, aber irgendwie hängt es bei anderen Nullstellen.
Man kann eine Gleichung 4. Grades auch allgemein lösen, Brünner macht es vor:

Lösen der biquadratischen Gleichung 3x^4 - 12x³ + 12x² - 3 = 0
———————————————————————————————————————————————————————————————————

Die Gleichung wird zunächst durch Division mit 3 auf die Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 gebracht.

x^4 - 4x³ + 4x² - 1 = 0

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y + 1)^4 - 4(y + 1)³ + 4(y + 1)² - 1 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -2
q = a³/8-ab/2+c = 0
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 0

y^4 - 2y² = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 4z² + 4z = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————


Lösen der kubischen Gleichung x³ + 4x² + 4x = 0
———————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 1,3333333333333333)³ + 4(y - 1,3333333333333333)² + 4(y - 1,3333333333333333) = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -1,333333333333333
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -0,5925925925925926

y³ - 1,333333333333333y - 0,5925925925925926 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -1,333333333333333 q = -0,5925925925925926

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 4,163336342344337e-17.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 6,452392069879462e-9

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = 0,6666666715059607

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = 0,6666666618273726

y = u + v = 1,3333333333333333
1
y = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -0,6666666666666666 - 8,381903213395236e-9·î
2
y = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -0,6666666666666666 + 8,381903213395236e-9·î
3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=4 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = 0
1
x = -2 - 8,381903213395236e-9·î
2
x = -2 + 8,381903213395236e-9·î
3

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z = 0
1
z = -2 - 8,381903213395236e-9·î
2
z = -2 + 8,381903213395236e-9·î
3

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 0.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
1 1 2 3
y = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
2 1 2 3
y = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
3 1 2 3
y = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
4 1 2 3

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 0 ist.

Die Wurzeln

sqr(0) = 0
sqr(2 + 8,381903213395236e-9·î) = -1,4142135623730951
sqr(2 - 8,381903213395236e-9·î) = -1,4142135623730951

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y = -1,414213562373095
1
y = 1,414213562373095
2
y = 0
3
y = 0
4

und nach Subtraktion von a/4 ( = -1 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x = -0,41421356237309503
1
x = 2,414213562373095
2
x = 1
3
x = 1
4
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