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Vollständige Induktion
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zencipislik
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Anmeldungsdatum: 15.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2014 - 16:04:29    Titel: Vollständige Induktion

Hallo liebe Community,

meine Frage bezieht sich auf die Beweismethode vollständige Induktion.

Die Aufgabe ist recht banal:

n² < 2^n für alle n>=5 , für alle natürlichen Zahlen.

Im Grunde kann ich die Induktion, doch sobald < , > Zeichen ins Spiel kommen bin ich verwirrt.

IA: 5² < 2^5 = 25<32 richtig
IV: nun für alle n+1
IB: (n+1)² < 2^(n+1).... ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

Könnt ihr mir vllt. einen Ansatz geben und ein Schema wie man mit gleichzeichen eine Gleichung per Induktion lösen kann.
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2014 - 16:43:55    Titel:

Probiere mal z=5+k mit k>=0
und behaupte z² < 2^z (ist äqu. zu oben, aber vielleicht hilfts beim erkennen)
1. Schritt: k=0
2. Schritt k+1 beliebig... -> z² = (5+k+1)²= (5+k)² + 2(5+k) +1 <= ...
Zeta3010
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Anmeldungsdatum: 10.01.2010
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 04:11:52    Titel: Re: Vollständige Induktion

zencipislik hat folgendes geschrieben:


IB: (n+1)² < 2^(n+1).... ab hier weiß ich nicht mehr weiter. .


zencipislik
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Anmeldungsdatum: 15.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:04:18    Titel:

Woher kommt bei dir das .... n*(2+1/n) her ?

und n² + n*n ... versteh ich nicht
Zeta3010
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Anmeldungsdatum: 10.01.2010
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:38:20    Titel:

Naja multiplizieren mal aus. Dann wirst du sehn dass rauskommt. Dies nutze ich um es anschließend mit n abzuschätzen.

Um Zu verstehen, geh den Schritt mal von hinten nach vorne. Dann solltest du die Umformung erkennen.

Häufig ist der Trick bei der Vollständigen Induktion-wenn man nicht mehr weiter kommt-, von hinten anzufangen und zu schauen wie kann ich es so korrekt umformen, dass die Aussage wahr wird und mit der vorderen Umformung passt.


Zuletzt bearbeitet von Zeta3010 am 16 Jan 2014 - 17:42:39, insgesamt einmal bearbeitet
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:41:43    Titel:

wenn du noch einmal zu meinem Ansatz möchtest:
(1) z² = (5+k+1)²= (5+k)² + 2(5+k) +1 <= ...

k ist ja größer/gleich Null, nun klammern wir mal in 2(5+k) +1
die 5+k aus, dann folgt



Nun ist natürlich

für beliebiges k>=0.

Damit kannst du abschätzen:


Das setzt du nun in (1) ein:
(2)

Nach Ind.Vor. war aber

was wir also in (2) einsetzen:


okay?
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:42:45    Titel:

Zeta: wir haben uns gerade parallel bemüht Smile
Zeta3010
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Anmeldungsdatum: 10.01.2010
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:48:47    Titel:

Im Endeffekt machst du FAST das Selbe, nur dass du dir dein n als z definierst und anschließend dein zdefinierst.
Geschmacksache, der ist genauso korrekt, find ihn lediglich unnötig kompliziert verschachtelt (nicht abwertend gemeint).

Wenn ers so besser versteht ist das gut, der Beweis ist korrekt.


Zuletzt bearbeitet von Zeta3010 am 16 Jan 2014 - 17:50:03, insgesamt einmal bearbeitet
Zeta3010
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Anmeldungsdatum: 10.01.2010
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 17:49:20    Titel:

hilber raum hat folgendes geschrieben:
Zeta: wir haben uns gerade parallel bemüht Smile


So siehts aus haha Very Happy
zencipislik
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Anmeldungsdatum: 15.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2014 - 20:40:39    Titel:

Ist es verständlich wenn ich sage, dass ich ich gerade sau dumm fühle.

Ich verstehe die erste Zeile nicht mal
Code:
(1) z² = (5+k+1)²= (5+k)² + 2(5+k) +1 <= ...
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