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Zwei Polynome - Formel für zweite Ableitung in einem Punkt
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thomas4180
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Anmeldungsdatum: 16.01.2014
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2014 - 19:26:23    Titel: Zwei Polynome - Formel für zweite Ableitung in einem Punkt

Hallo an alle!

Ich schildere mal meine Ausgangsposition und meinen Lösungsweg. Meine Frage ist die, ob man das mathematisch sauberer lösen kann. Mein Vorgehen ist imho ziemlich stümperhaft. Gegeben ist folgendes:

Gewünscht sind zwei Polynome 5. Ordnung. Das erste Polynom p1 soll durch P0 und P1 gehen (Funktion f), das zweite p2 durch P1 und P2 (Funktion g). Gesucht ist der Wert der zweiten Ableitung in P1, welcher bei beiden Polynomen gleich sein soll. Ich habe dazu die 12 unbekannten Koeffizienten beider Polynome mit folgenden 12 Bedingungen ermittelt:

Das Lösen dieses Gleichungssystems habe ich mit frei gewählten Werten der Punkte P mit Excel realisiert. Diesen Umweg musste ich gehen, um den letztendlich gesuchten Wert der zweiten Ableitung in P1 zu finden.
Aufgrund einer Wertetabelle habe ich versucht, ob ich eine Formel herleiten kann, damit ich direkt aus den Koordinaten der Punkte die zweite Ableitung in P1 berechnen kann. Euch kann ich es ja sagen, es handelt sich um einen Beschleunigungswert.
Aus der Wertetabelle habe ich schließlich verschiedene Diagramme erstellt, nachdem ich meine sechs Variablen (die Koordinaten) durch zwei ersetzt habe und davon eine immer konstant hielt.

In den Diagrammen konnte ich feststellen, dass die Funktion eine Polstelle enthält. Diese habe ich eliminiert, und konnte anschließend mit Excel eine Formel erstellen.
Diese lautet:

Edit: Faktor 20/3 vergessen

Gibt es einen Weg, dies eleganter zu lösen?


Zuletzt bearbeitet von thomas4180 am 20 Jan 2014 - 20:03:05, insgesamt einmal bearbeitet
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8281
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2014 - 19:45:21    Titel:

Das ist leider vollkommen unverständlich.

Wieso willst du zwei Polynome 5. Grades (nicht "Ordnung") bemühen, um lächerliche drei Punkte zu treffen? Dafür reicht ein einziges Polynom und das braucht nur vom 2. Grad zu sein.

Deine 12 Gleichungen beinhalten eine Menge weitere Bedingungen über Extrem- und Wendepunkte. Ob die gewollt und/oder sinnvoll sind, geht aus deiner Beschreibung des Sachverhalts nicht hervor.

Am Ende sehe ich aber keine Bestimmung der Koeffizienten der beiden Polynome.

Stattdessen beschreibst du eine Herumprobiererei mit Zahlen und kommst dann mit den z-Werten und a zu weiteren Zahlen, die sich aus den Koordinatenwerten der gegebenen Punkte berechnen.

Wozu das Ganze dient, bleibt unklar. Und ob es zu diesem unbekannten Ziel dienen kann, auch.

Was willst du denn eigentlich erreichen?

Gruß
mike
thomas4180
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Anmeldungsdatum: 16.01.2014
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2014 - 20:17:33    Titel:

Es handelt sich dabei um Bewegungsgesetze. Der Wegverlauf soll von Punkt zu Punkt durch ein Polynom 5. Grades beschrieben werden. In allen Punkten soll die Geschwindigkeit gleich Null sein, ebenso wie die Beschleunigung am Anfangs- und Endpunkt. Im mittleren Punkt soll die Beschleunigungsfunktion differenzierbar gemacht werden, deswegen die Bedingungen (11) und (12). Dies führt zu einem verbesserten Verlauf der Gesamtbewegung.

Zitat:
Am Ende sehe ich aber keine Bestimmung der Koeffizienten der beiden Polynome.

Weil das auch nur ein Zwischenschritt war auf dem Weg zu der gewünschten Beschleunigung in P1.
thomas4180
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Anmeldungsdatum: 16.01.2014
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2014 - 21:11:11    Titel:

Zur Verdeutlichung ein kleines Bild:

M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8281
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2014 - 22:14:45    Titel:

O.k., Problemumfeld verstanden.

Aber: Geht es nur darum, den Beschleunigungswert an der Stoßstelle zu ermitteln, oder willst du alles wissen, also: brauchst du auch die vollständigen Polynome?

Um die Polynome zu ermitteln, kannst du deine 12 Bedingungsgleichungen als lineare Gleichungen in allen 12 Koeffizienten schreiben.
Also z. B. (1) als


oder (11) als


Dabei sind a, b, c,... die Unbekannten und die x- und y-Werte alle bekannt.

Dieses Gleichungssystem kannst du dann als 12mal12-Matrix behandeln: Die Matrix wird von den Zahlfaktoren und den Koeffizienten aus den x-Werten gebildet. Das Produkt dieser Matrix mit dem Vektor aus den Unbekannten wird mit der Matrix multipliziert. Und rechts vom Gleichkeitszeichen steht dann ein Vektor mit ein paar y-Werten und ansonsten vielen Nullen.

Was dir dann nicht erspart bleibt, ist, die Matrix zu invertieren. Das klingt schrecklich, dürfte aber mit dem Unterdeterminanten-Verfahren nicht ganz so schlimm sein, weil es auch in der Matrix nur so von Nullen wimmelt. Aber trotzdem: 144 Unterdeterminanten und eine Hauptdeterminante, das ist kein Pappenstiel.

Wenn du die Inverse der Matrix auf den y-Vektor loslässt, bekommst du sofort alle Koeffizienten. Und wenn du die erst hast, dann kriegst du zum Beispiel aus der ersten Hälfte der 11. Zeile und den zugehörigen Polynomkoeffizienten a bis f sofort die Beschleunigung bei x_1.

Das wäre der - durchaus mühsame - aber mathematisch korrekte Weg, das Thema ohne Probieren und allgemeingültig zu behandeln.

Wenn du nur an Zahlenwerten für gegebene x- und y-WErte interessiert bist, dann kannst du die Sache nach dem selben Muster in Excel behandeln, weil du da sehr rationell numerische Matrixoperationen durchführen kannst.

Und für die symbolische Rechnung zur allgemeinen Invertierung der 12mal12-Matrix gibt es ja schließlich auch Programme...

Gruß
mike
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