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Grad Körpererweiterung
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Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2014 - 01:32:00    Titel: Grad Körpererweiterung

Servus,

ich sitze hier an einem Algebra-Problem.
Hintergrund: Ich habe lange Zeit die Vorlesung nicht besuchen können, arbeite des ganze Zeugs irgendwie auf und sitze vor meine Probeklausur.

Ich solle den Grad der Körpererweiterung

[Q( 3^0,2 *e^(-2*pi*i /5) ) : Q], wobei i^2 = -1

berechnen.

Antwort: Grad ist 4

Beweis:

Sei a = 3^0,2 *e^(-2*pi*i /5).

Dann ist a Nullstelle von a^5 - 3 = 0.

Nach dem Zwischenwertsatz und der Tatsache, dass a^5 - 3 streng monoton auf IR bzw. Q steigt, hat a^5 - 3 nur eine relle Nullstelle.

Der zweite Faktor vom Grad 4 ist also irreduzibel über Q. (Minimalpolynom)
Es gibt ja nur 1 reelle Nullstelle.

Ferner ist a eine Nullstelle von diesem Polynom aufgrund der Nullteilerfreiheit (ja?).
(ich meine, mir ist schon klar, warum a eine Nullstelle von diesem Polynom 4. Grades sein muss, aber so ein Stichwort wäre ja nicht schlecht. Smile )

Der Grad dieser Körpererweiterung ist also 4.

Passt das?

Edit:

Ich sehe gerade, dass der Körper ja Q und nicht IR. Für IR wäre der Grad .

Für Q ist ja a^5 - 3 bereits irreduzibel und somit das Minimalpolynom.

Der Grad ist demnach 5, ja?
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