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Grenzwertberechnung
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kellysa
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Anmeldungsdatum: 21.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2014 - 21:13:32    Titel: Grenzwertberechnung

Hallo liebe Community,

ich komme selber leider nicht auf die Herleitung von folgendem Grenzwert:

lim x-> +unendlich (cos(sqrt(x)^-1)^x)

Die Lösung kenne ich sie ist 1/sqrt(e)

Mein Ansatz war diese mit folgender Formel sin^2 a + cos^2 a = 1 umzuformen. Doch dann komme ich auch nicht mehr weiter wenn ich statt dem cos den sin habe.

Wäre gut wenn mir einer Tipps geben könnte wie man hier ansetzt.
[/code]
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2014 - 08:59:58    Titel:

Die Aufgabe lautet

kellysa
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Anmeldungsdatum: 21.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2014 - 22:55:44    Titel:

Ne sorry, hab mich wohl falsch ausgedrückt. (Durch mehrmaliges probieren weiß ich jetzt endlich wie man Formeln hier im Forum eingeben kann Smile )
Der Grenzwert ist folgender:



Die Lösung des Grenzwertes kenne ich durch einen Grenzwertrechner, dieser lautet:



Meine Frage ist nun wie man hierbei auf die Lösung des Grenzwertes kommt.
Ein Ansatz von mir war es durch den Satz des Pythagoras den Cosinus durch den Sinus zu ersetzen, dann komm ich auf folgendes:



Dies hilft mir aber nicht wirklich weiter, da ich dann nicht weiter umformen kann.
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 379

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2014 - 00:17:00    Titel:

Wüsste jetzt nicht wie dir dadurch geholfen ist, aus nem Cosinus nen Sinus zu machen, strukturell wird das nicht einfacher. Spontan würde ich sagen, du probierst es mal mit der Reihendarstellung des Kosinus?

edit: glaube auch dass dein grenzwert nicht stimmen kann, setz der einfachheit halbereinfach mal für x=1.000.000 ein. der grenzwert müsste 1 sein
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2141

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2014 - 00:38:04    Titel:

Der Grenzwert ist richtig.

a = exp[log[a]]... x=1/t und t->0 betrachten... und dann noch paar mal l'Hospital.
kellysa
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Anmeldungsdatum: 21.01.2014
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2014 - 22:11:35    Titel:

Sorry ich versteh's immer noch nicht.

Wenn ich dann folgenden Grenzwert habe:



kann ich doch immer noch nicht die Regel von L'Hospital anwenden. Ich steh auf dem Schlauch. Ich kenne die Regel von L'Hospital nur für Brüche, ich habe aber nur einen Bruch der von einer periodischen Funktion umschlossen ist. Hier darf ich die Regel ja nicht anwenden.

Ich habe auch nicht ganz verstanden was du mit der Betrachtung gegen 0 gemeint hast.
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2141

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2014 - 00:48:04    Titel:

1.) Umformen: a = exp[log[a]]
2.) Umbenennen: x=1/t und t->0 betrachten
3.) Dann noch paar mal l'Hospital.[/quote]
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2014 - 09:11:32    Titel:

kellysa deine Lösung

erscheint auf den ersten Blick plausibel. Um das einzusehen, hier neben den bereits gemachten Hints noch einer auf "atomarer" Ebene (also weiter kann mans fast nicht zerlegen...):



Und damit

So, nun hast du im Exp. einen Bruch, auf den du l'Hospital anwenden darfst... (z geht nun natürlich gegen 0)
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