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Trigonometrische Funktionen - Ich drehe durch!
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Trigonometrische Funktionen - Ich drehe durch!
 
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FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2014 - 22:08:39    Titel: Trigonometrische Funktionen - Ich drehe durch!

Hallo,

sorry, dass ich gleich nochmal einen Thread eröffnen muss, aber jetzt lerne ich trigonometrische Funktionen und da tuen sich Fragen auf.

Funktion f(x)=cos(2x)-(1/2)

iii) Man bestimme die Nullstellen der Funktion f sowie f(0).

In den Lösungen steht "Der Funktionswert an der Stelle x=0 ist f(0)=cos(2*0)-(1/2)=-1/2

Also richtig wäre wohl eher f(0)=1/2 oder?

Weiter schreibt er zu den Nullstellen:

Die Nullstellen erhalten wir aus der Bedingung cos(2x)=1/2. Der Kosinus nimmt für die Argumente +-(pi/3) den Wert 1/2 an. Die Nullstellen liegen also bei 2x=+-(pi/3) --> x=+-(pi/6).............

Woher nimmt er die Bedingung cos(2x)=1/2? Ist mir gerade ein absolutes Rätsel.

Liebe Grüße
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7341
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2014 - 22:41:26    Titel:

Wegen der Symmetrie ist jede Lösung mit ± zu versehen.
Es sollten die Lösungen pi/6, 5pi/6, 7pi/6 und 11pi/6 rauskommen.

Weshalb die Bedingung cos(2x)=1/2? Ist das nicht die Aufgabenstellung?
FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2014 - 23:31:12    Titel:

Nein, cos(2x)=1/2 ist nirgends gegeben, darauf muss man wohl i.wie kommen.

Ich dachte ja erst, er hat f(0) mit der funktion gleich gesetzt nur dann wäre es ja cos(2x)-1/2=1/2 und ich wurde denn Sinn dahinter auch nicht sehen?

Wie kommt man nur auf cos(2x)=1/2 als Bedingung um die Nullstellen auszurechnen? Ich sehs gerade, während ich das Schreibe.Very Happy einfach f(x) gleich 0 gesetzt und auf diese Art umgestellt. So macht es auch Sinn.Very Happy

Dann mal fix ne andere Frage.

Viii) Man bestimme die Imkehrfunktion f^-1(x) von f(x). Man gebe dazu an ob bw. unter welcher Bedingung f(x) eineindeutig ist.

Lösung
(...) y=cos(2x)-1/2 nach x auflösen (...) x=1/2arccos(y+1/2). Wie kommt man darauf? Gibt es i.wo Rechen-Regeln dafür, wie man mit cos und arccos arbeitet?
Schwarzes Smartie
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Anmeldungsdatum: 06.05.2006
Beiträge: 609
Wohnort: Paradise City a.k.a. Köln :)

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 10:33:13    Titel:

http://www.youtube.com/watch?v=hMAoSJLOpes
Hier kannst du vielleicht was darüber erfahren Smile.

Ansonsten gilt:
sin(x)=5
<=> x=arcsin(5)

bzw. eben:
sin(2x)=0,5
<=> 2x=arcsin(0,5)

arcsin(x) := sin^(-1) (x)
arccos(x) := cos^(-1) (x)

Zur Umkehrbarkeit von (bijektiven) Funktionen: z.B. y=3x+1. Wie erhält man die Umkehrfunktion? Man muss zuerst x und y im Funktionsterm vertauschen, und dann nach y umstellen.

Am Beispiel: x =3y+1
<=>x-1=3y
<=>(x-1)/3=y

Hierbei ist aber zu beachten, dass die Beispielfunktion eine bestimmte Eigenschaft hatte, die Bijektivität. Das heißt, dass jedem Element aus dem Definitionsbereich ein, und genau ein (!) Element aus dem Wertebereich zugeordnet wird. Die Funktion f(x)=x^2 ist zum Beispiel nicht bijektiv, da f(2)=f(-2)=4. Hier muss man dann den Definitionsbereich einschränken, sodass die Funktion bijektiv ist. Hier im Beispiel lässt man nur x>=0 zu. Denn dann kann man wie gewohnt verfahren.
y=x^2 |x und y vertauschen.
x=y^2 | zweite Wurzel ziehen, dies geht nun, da x>=0
wurzel(x) = y

Deine gegebene Funktion: f(x)=cos(2x)-0,5 ist auch nicht bijektiv. Also könntest du dir die Funktion vll mal zeichnen lassen und nachschauen, auf welchem Intervall man sie sinnvoll invertieren kann.

Oder vielleicht musst du dir auch gar nicht die Mühe machen mit dem veränderten Definitionsbereich und darfst einfach nach Schema f verfahren.

y=cos(2x)-0,5 | Variablen vertauschen
x=cos(2y)-0,5
x + 0,5 =cos (2y)

...


Liebe Grüße Smile
FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 12:24:42    Titel:

Vielen vielen Dank für deine Hilfe. Smile

Das hat mir wirklich sehr geholfen. Also wenn ich das richtig verstehe, dann kann man die umkehrfunktion nur in dem intervall bilden, in dem die Funktion bijektiv, also eineindeutig ist.

f(x)=cos(2x)-(1/2)

Ich wieß bei mir ja, dass T=2pi/b, also 2pi/2=pi. Also ist meine Periodenlänge pi. und die Kosinus-Funktion dürfte ja nur in dem Bereich ihrer halebn Periode bijektiv sein, sprich im Intervall von z.B. 0<=x<=pi/2 oder?
FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 17:23:38    Titel:

Ich muss euch nochmal kurz nerven.

es geht um f(x)=tan(x)

viii) Verhalten von f am Rand des Definitionsbereich

Definitionsbereich ist (-pi/2,pi/2)

Also mal für lim x-->pi/2 eingesetzt:

f(pi/2)=tan(pi/2)=sin(pi/2)/cos(pi/2) =1/0

Das heißt, es strebt gegen +unendlich oder?

Nächste Frage:

wir sollten extremwerte und Wendepunkte ausrechnen. Also habe ich mich extrem abgemüht f'(x) und f''(x) von sin(x)/cos(x) zu bilden.

Dann sehe ich in den Lösungen, dass f''(x) = 2sin(x)/cos^3(x) ist. Wie kommt man darauf? Ich hatte raus:

((2*cos^3(x)*sin(x)+2*sin^3(x)+cos(x))/(cos^4(x)

Dann habe ich einfach gemeint, f"(x)=0, wenn der Zähler 0 ist. Der Zähler ist 0, wenn sin(x) oder cos(x) = 0 sind. Der cos(x) darf aber nicht 0 werden, da man sonst durch 0 teilt, also kann nur der sin(x) 0 werden. Das Ergebnis am nächsten am x=0 wäre also 0. Sprich Wendepunkt im Punkt (0/0). Wäre diese Begründung auch richtig?

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thomas4180
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Anmeldungsdatum: 16.01.2014
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 18:14:11    Titel:

Hi,

was hast du denn bei der ersten Ableitung raus? Irgendwas mit sin² + cos² im Zähler?
Kleiner Tip: sin²(x)+cos²(x) = 1

Gruß Thomas
FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 19:18:03    Titel:

Hey, also die Ableitungen dürften schon richtig sein.:p

Also sin²(x)+cos²(x)=1 hat er auch benutzt um die Periode auszurechnen, das ist mir sowas von nen Rätsel, wie das gehen soll:

Er schreibt:

Ich kürze es mal hier und da, also los:

Für eine periodische Funktion mit Periode p ungleich 0 muss gelten f(x+p)=f(p) und p muss die kleinste einer solchen zahl sein. Angewendet auf die Funktion tan(x):

sin(x+p)cos(x+p) = sin(p)/ cos(p)

Mit den additionstheoremen folgt hieraus

cos(x)*((sin(x)*cos(p)+cos(x)*sin(p))= sin(x)*((cos(x)*cos(p)-sin(x)*sin(p))


**Soweit alles klar.**

Vereinfachung beider Seiten liefert: sin(p)*cos²(x)=-sin(p)*sin²(x) und wegen sin²x+cos²x=1 folgt schließlich sinp-0.

Also ganz ehrlich, wie kommt er von sin(p)*cos²(x)=-sin(p)*sin²(x) durch sin²x+cos²x=1 auf sinp-0 ?

Hier mal ein Bild damit man die Funktionen besser erkennt:

http://s14.directupload.net/images/140125/g9uwiat7.jpg
thomas4180
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Anmeldungsdatum: 16.01.2014
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 19:28:32    Titel:

Hey,

sin(p)*cos²(x)=-sin(p)*sin²(x)
sin(p)*cos²(x) + sin(p)*sin²(x) = 0
sin(p)*(cos²(x) + sin²(x)) = 0
sin(p) = 0
Da p ungleich Null, aber sonst minimal: p = π
FCKW36
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Anmeldungsdatum: 02.11.2010
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 25 Jan 2014 - 20:11:52    Titel:

Asoo, einfach ausgeklammert. Vielen Dank, das hilft mir sehr.Very Happy
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