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Spirale
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Adrian1403
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2014 - 18:42:39    Titel: Spirale

Hallo Leute,

es ist mir fast ein bisschen peinlich, aber ich habe eine Frage zu einem Beispiel aus dem Kapitel Folgen und Reihen.

Gegeben ist eine aus unendlich vielen Halbkreisen bestehende Spirale Der Radius der jeweils folgenden Halbkreises ist halb so groß wie der des vorherigen.
Der Radius des ersten Halbkreises ist 3cm

Wie groß ist die Länge s der Spirale?
WIe weit ist das Zentrum der Spiirale vom Ausgangspunkt entfernt?

----------------------
Ich habe mir also zuerst Gedanken über den Umfang des ersten Halbkreises gemacht.

Umfang Halbkreis = r*Pi

<an>= r*Pi, (r*Pi)/2, (r*Pi)/4, (r*Pi)/8, (r*Pi)/16.....

Ich müsste also die Summe aller einzelnen Elemente Bilden

Nachdem ich mich einer Zahl annähere und die Folgeglieder unter 1 sind, würde ich salopp behaupten ich habe eine konvergente Reihe und das Wurzelkriterium anwenden.

Nur komme ich einfach nicht weiter. Hat irgendwer Ideen, wie ich meinen Ansatz aufstellen sollte?


Zuletzt bearbeitet von Adrian1403 am 05 Feb 2014 - 16:21:32, insgesamt einmal bearbeitet
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2014 - 18:50:47    Titel:

Hinweis: r*Pi ausklammern und geometrische Reihe!

LG
Adrian1403
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2014 - 19:27:10    Titel:

sranthrop hat folgendes geschrieben:
Hinweis: r*Pi ausklammern und geometrische Reihe!

LG


Gut, dass heißt ich schreibe es wie folgt auf:


Ich könnte ja dann

sn= a1*((1-q^n)/(1-q)) verwenden, wobei mein a1 1/2 und mein q ebenso 1/2 wäre.

Jetz lasse ich n gegen unendlich laufen, dann komme ich ja erst nicht auf meine 6Pi sondern auf unendlich... Sad
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1229
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2014 - 21:21:16    Titel:

Man kommt auf den Grenzwert 2 für die geometrische Reihe, also auch auf 6Pi für die Länge der Spirale. Rechne mal nach und beachte dass (1/2)^n = 1/2^n
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2014 - 02:39:28    Titel:

Die Reihe, die du da hingeschrieben hast, ist auch keine geometrische Reihe, und macht auch so, wie sie da steht, keinen Sinn.
Schau dir nochmal an wie eine geometrische Reihe aussieht. Die Formel für ihren Grenzwert hast du ja richtig genannt.
Adrian1403
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2014 - 23:39:00    Titel:

Komme leider nicht weiter, insbesondere zu Punkt P habe ich absolut keine Idee.

Wenn ich nach meinem Prozedere weiter vorgehe würde ich es wie folgt lösen:




Damit stoße ich aber an und mein ergebnis ist unendlich und nicht 6Pi
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2143

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2014 - 01:25:18    Titel:

Du scheinst ein ziemlich grundlegendes Problem damit zu haben, was Du da eigentlich aufschreibst, was was Potenzen sind, was Summenzeichen bedeuten...

Schreib Dir doch das alles mal explizit auf für die ersten 5-6 Glieder.. ohne Summenzeichen order irgendwas...
Adrian1403
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2014 - 03:10:18    Titel:

Ach verdammte scheiße...

Ich bin einfach schon viel zu chaotisch unterwegs, ich sehe nicht mal mehr das Wesentliche.

Es liegt ja quasi eine konvergente unendliche geometrische Reihe vor.

--> Summe der Umfänge= Anfangsglied / (1- q)

von dem her wäre 3*Pi / (1- 1/2) = 6Pi
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2014 - 07:52:02    Titel:

Adrian1403 hat folgendes geschrieben:

Ich bin einfach schon viel zu chaotisch unterwegs


Ich möchte dir nicht widersprechen.
Sind dir eigentlich die Begrifflichkeiten 110%ig klar, also Folge, Partialsumme, Reihe?

Eine Folge z.B. ist eine Abbildung aus den natürlichen Zahlen heraus, die Glieder deiner Partialsumme scheinen eine Abbildung aus den rationalen Zahlen heraus zu sein..., da geht es schon mal los mit dem Chaos.
Zu dessen Reduktion schlage ich als ersten Schritt vor, dies mal zu reparieren.
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7342
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2014 - 09:41:43    Titel:

Adrian1403 hat folgendes geschrieben:
Ich bin einfach schon viel zu chaotisch unterwegs, ...
Ja, das könnte stimmen, Adrian,
denn die hier beschriebene Spriale ist keine Archimedische, wie in Deiner Überschrift angegeben. Vielleicht magst Du die Überschrift richtigstellen?
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