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Ableitung von Funktionen mit Bruch
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Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2014 - 00:27:39    Titel: Ableitung von Funktionen mit Bruch

Ich verstehe nicht ganz wie bei folgender Funktion die 1. Ableitung gebildet wird.

f(x) = x - 2 + (4)/ (x-1)

f(x) ´ = (x²-2x-3) / ((x-1^2))

Mein bisheriger Wissensstand war so, dass sich das x bei einer Ableitung sozusagen auflöst.

Dies kann, nach meiner Vermutung, bei f(x) nicht möglich sein da unter dem Bruchstrich 1 - 1 = 0 nicht möglich ist. Aber warum wird das x quadriert?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2014 - 00:59:51    Titel:

Hallo!

Schau dir die Quotientenregel noch einmal an:

Es ist .


Cyrix
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2014 - 01:08:56    Titel:

Vielen Dank für deine schnelle Antwort um diese Uhrzeit!

Eins muss ich nur noch kurz nachharken...

f(x) = x - 2 + (4)/ (x-1)

aber woher weiß ich was g(x) ist?
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2014 - 01:11:07    Titel:

Hab glaub was gefunden in meiner Formelsammlung:

x = g(y) Umkehrfunktion von y = f(x)

Kann ich damit g(x) ermitteln?^^
Mathematrix
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Anmeldungsdatum: 31.01.2014
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2014 - 14:49:49    Titel: Re: Ableitung von Funktionen mit Bruch

Der Sucher hat folgendes geschrieben:
Ich verstehe nicht ganz wie bei folgender Funktion die 1. Ableitung gebildet wird.

f(x) = x - 2 + (4)/ (x-1)

f(x) ´ = (x²-2x-3) / ((x-1^2))

Mein bisheriger Wissensstand war so, dass sich das x bei einer Ableitung sozusagen auflöst.


Aber nicht bei gebrochen rationalen Funktionen.

Bei dieser einfachen Funktion hier kannst Du durch Umformen an der Quotientenregel vorbeikommen und neben den Grundregeln nur die Kettenregel zur Ableitung anwenden.

f(x)=x-2+4/(x-1)=x-2+4*(x-1)^(-1)

f'(x)=1-4*(x-1)^(-2)=1-4/(x-1)^2
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2014 - 00:42:36    Titel:

Ich habe es mal mit der Quotientenregel versucht...

f(x) = x - 2 + 4/x-1 (nur die 4 steht über den bruchstrich)

f(x) ´ = u´(x) * v(x) - u(x) * v´(x) / (v(x))² u = 4; v = x - 1

f(x) ´ = 0 * x - 1 - 4 * - 1 / (x-1)²

f(x) ´ = 5 / (x-1)²

kann aber nicht sein da als Kontrollergebnis:

f´(x) = x² - 2x - 3 / (x-1)² heraus kommen muss.


Wenn ich u = 4 ableite komme ich auf 0. Wenn ich u´ (x) * v(x) rechne muss 0 heraus kommen soweit ich weiss. Wenn ich v = x - 1 ableite kommt 1 heraus, da Ableitung von x = 1 ist.

Ich verstehe allerdings nicht wie ich auf das Kontrollergebnis komme.

Mein nächster Gedanke wäre dass u = x - 2 + 4 ist...

Dann hätte ich:

f(x) ´ = 1 * x - 1 - x-2+4 * 1 = x - 1 - x - 2 + 4 = 1 / (x - 1)²....kann nicht stimmen.


Ich verstehe nicht wie sich das x quadrieren kann... >.<

Stellt x - 2 + 4 eine binomische Formel da, oder was mache ich falsch?
Mathematrix
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Anmeldungsdatum: 31.01.2014
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2014 - 02:45:02    Titel:

Quotienregel in Kurzschreibweise:
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

f(x)=x-2+4/(x-1)

Die QR wird nur auf den gebrochen rationalen Teil des Funktionsterms angewendet, der Rest wird nach den Grundregeln abgeleitet.

u(x)=4; v(x)=x-1; u'(x)=0; v'(x)=1

f'(x)=1+(0*(x-1)-4*1)/(x-1)^2

=1-4/(x-1)^2
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5225
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2014 - 10:59:28    Titel:

Zitat:
Bei dieser einfachen Funktion hier kannst Du durch Umformen an der Quotientenregel vorbeikommen und neben den Grundregeln nur die Kettenregel zur Ableitung anwenden.

Das geht immer und sollte meiner Meinung nach auch immer angewandt werden. Die Kettenregel ist eh die wichtigste Regel, daher kann man sie nicht oft genug üben. Wozu die Schüler überhaupt mit einer weiteren Regel (Quotientenregel) verwirren?
Der Sucher
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Anmeldungsdatum: 12.11.2013
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2014 - 22:45:48    Titel:

Vielen Dank nochmals für eure Hilfe!
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