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Pyramide im Verhältnis 19:8 schneiden
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MatheCAD78
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Anmeldungsdatum: 20.07.2005
Beiträge: 1
Wohnort: Lörrach

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2005 - 14:27:25    Titel: Pyramide im Verhältnis 19:8 schneiden

Hi,
ich beiße mir seit heute morgen die Zähne an dieser Aufgabe aus:

Eine quadratische Pyramide P mit der Grundkante a=18 cm und der Höhe h = 12 cm soll parallel zur Grundfläche geschnitten werden. In welcher Höhe h1 von der Grundfläche aus muss der Schnitt durchgeführt werden, damit sich die Volumen des entstehenden Pyramidenstumpfes P1 und der Entstehenden Pyramide P2 wie 19:8 verhalten? In welchem Verhältnis stehen die Mantelflächen von P,P1 und P2 zueinander ?

vielleicht hat hier ja jemand eine Idee - ich dachte zunächst natürlich an zentrische Streckung -> das volumen der kleinen Pyramide wächst zur großen Pyramide ja doch um den Faktor K^3 ... aber irgendwie kommen bei mir da unmögliche Höhen raus

Gruß
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 20 Jul 2005 - 21:52:36    Titel:

Also V1/V2 = 8/19
V1 ist die Spitze
V2 der Stumpf

V1 = 1/3(a^2)*h
V2 = 1/3(18^2)*12 - V1

Strahlensatz:
a'/h' = 18/12
a'(h)' = 18/12 * h' = 3/2 h'

eingesetzt:
V1 = 1/3 (9/4 h'^2) * h' = 3/4 h'^3

V1/V2 = 8/19
8/19 = (3/4 h'^3)/(1/3(18^2)*12 - 3/4 h'^3) = (3/4 h'^3)/(1296 - 3/4 h'^3)
57/32h'^3 = 1296 - 3/4 h'^3
1296 = 81/32 h'^3
512 = h'^3
h' = 8
Für eine Höhe von h=8cm für V1 ist das Verhältniss 8/19
a' = 12
V1 = 384 cm^3
V2 = 912cm^3
384/921 = 8/19
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