Integrale in 3D

S1 · Full Member Anmeldungsdatum: 05.06.2005 Beiträge: 349

Hey Leute, ich habe mal ein Problem. Ich suche das Volumen unter einer Parabel ( f(x) = x² ) , die um die X-Achse routiert.

Ich habe mit folgender Formel gerechnet:

Die Routationsgrenzen t1 und t0 sollen jeweils 4 und 0 sein.
t1 = 4
t0 = 0

Wenn alle Achsen (x,y und z) jeweils bei einer Einheit, einen Zentimeter haben, komme ich auf ein Ergebnis von 643,4... cm³ .
Jetzt habe ich mir die Funktion mal aufgezeichnet und finde, dass das ein bisschen viel ist. Kann mir da mal jemand helfen? Stimmt die Formel? Habe ich richtig gerechnet? und vorallem: KANN MIR MAL EINER ERKLÄREN, WIE SICH DIESE INTEGRALFORMEL HERLEITET???

MFG S1

Goblin · Verfasst am: 21 Jul 2005 - 11:32:10 Titel:

Rotationskörper zu zeichnen ist recht schwer und es fällt auch recht schwer sich diese dann vorzustellen.
Du musst dir einfach vorstellen, wie ein Punkt um die X-Achse rotiert, da entsteht ein Kreis.
Um das Volumen des Körpers zu berechen, rechnest du also praktisch nur die Fläche von unendlich vielen Kreisen aus und die berechnet man bekannterweise mit pi*r².

Ich hab das selbe Ergebniss raus. Bei x= 4 ist y ja schon 16.
Und jetzt stell dir einen Kegel mit einer Öffnung von 32 cm und 4 cm Tiefe vor.

Hoo · Newbie Anmeldungsdatum: 25.07.2005 Beiträge: 5

Das is einfach Smile

Das Integral unter deiner Parabel ist der "Radius" deines Rotationskörpers
um das Volumen vollständig abzudecken muss der Radius einmal rotieren

das ganze lässt sich einfacher klar machen indem man nicht ne parabel nimmt sondern einen Zylinder/Papprohr dann kannst auch mit der altbekannten "Grundfläche mal Höhe" zeigen dass die obige Formel stimmt

eigentlich genau das gleiche wie bei der Kreisberechnung nur dass hier noch eine Dimension ( Radius="Strich" --> Radius="Fläche") dazukommt

btw ich frag mich ob man das Spielchen weitertreiben kann wie siehts zB mit 4 Dimensionalem aus? Rolling Eyes

gruss
Hoo

S1 · Full Member Anmeldungsdatum: 05.06.2005 Beiträge: 349

ääääääähhhhhh, woher willste denn die vierte Dimension nehmen?

MFG S1

Whoooo · Verfasst am: 25 Jul 2005 - 05:44:13 Titel:

du kannst doch ne funktion R³->R nehmen, die is dann 4dimensional.. macht für die rechnung keinen grossen unterschied, ob es 3 oder 18 dimensionen sind.. wird nur was umfangreicher..

Crocker · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.06.2005 Beiträge: 1127

Ähm... "Integrale in 3D" könnte man ihr auch als Volumenberechnung per Differentialrechnung nennen.