Kehrwert einer komplexen Zahl

habeinefrage · Full Member Anmeldungsdatum: 04.06.2005 Beiträge: 197

Hi,
wie kann der Kehrwert einer komplexen Zahl graphisch veranschaulicht werden?

algebrafreak · Verfasst am: 22 Jul 2005 - 16:16:28 Titel:

Der Kehrwert einer komplexen Zahl hat die Richtung der entsprechenden konjugiert komplexen Zahl und die Länge davon ist das Inverse des Betrages.

habeinefrage · Full Member Anmeldungsdatum: 04.06.2005 Beiträge: 197

kannst du das etwas genauer erklären?
habe im internet gelesen der Kehrwert würde einer Spiegelung am Einheitskreis entsprechen, stimmt das?

algebrafreak · Verfasst am: 22 Jul 2005 - 20:04:14 Titel:

1/(a+bi) = (a-bi)/((a+bi)(a-bi)) = (a-bi)/(a^2+b^2) = a/(a^2+b^2) - b/(a^2+b^2)i

Somit gilt für z = (a+bi)^(-1) = u+iv

u = a/(a^2+b^2)
v = -b/(a^2+b^2)

Somit ist haben wir die selbe Richtung, wie die komplexe Zahl a-bi und die Länge davon ist

sqrt(a^2/(a^2+b^2)^2 + b^2/(a^2+b^2)^2) = 1/(a^2+b^2)*sqrt(a^2+b^2) = 1/sqrt(a^2+b^2).