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Integraltransformation, Integrationsbereich
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Becha
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Anmeldungsdatum: 08.03.2006
Beiträge: 148
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2014 - 15:34:16    Titel: Integraltransformation, Integrationsbereich

Hallo,

ich steh hier bei einem wichtigen Grundverständnisproblem auf dem Schlauch.

Ich habe drei Aufgaben:

1)

Sei


Berechnen Sie I!

- Hier rechne ich das Volumen eines Prismas aus indem ich integriere und dabei in Kartesischen Koordinaten bleibe. Keine Frage.

2)

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation von



im Bereich



um die y-Achse entsteht.

- Ich berechne das Integral indem ich in Zylinderkoordinaten wechsle und nur über die Jacobi-Determinante der Zylindertransformation integriere:



3) Sei



Berechnen Sie das Integral



- Hier wäre das ganze ja eine Achtelkugel, also transformiere ich meinen integrationsbereich:



Nun die Frage:

Wenn ich das Volumen im Körper (2) ausrechne und mich in Zlinderkoordinaten befinde, kann ich direkt über die Jakobideterminante integrieren.

Nun hatte ich hier bei (3) auch erst über die Jakobideterminante integriert:




und erhalte ein (laut Lösung) falsches Ergebnis:



Das (offenbar) korrekte Ergebnis



erhalte ich, wenn ich so Integriere:



Warum muss ich das bei Aufgabe (2) nicht ebenfalls entsprechend handhaben, bzw. warum funktioniert es bei der Kugel nicht.

Ich hab das nicht so ganz geblickt, wann man darauf verzichten kann ,die Transformationskomponenten in die zu integrierende Funktion einsetzen muss uns wann die Jakobideterminante genügt.

Wäre lieb, wenn mich jemand aufklärte.

Danke im Voraus

Gruß
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 30 Jul 2014 - 08:28:52    Titel:

Sowohl in 2) als auch in 3) geht es um die Berechnung eines Integrals über eine Funktion.

In 3) lautet sie

nach Vorgabe der Aufgabe.

In 2) ist sie schlicht 1, du berechnest ja das Volumen:
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