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Nachschüssige unterjährige Rente, Interner Zinssatz, Problem
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Nachschüssige unterjährige Rente, Interner Zinssatz, Problem
 
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dfinas
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Anmeldungsdatum: 16.10.2008
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 07 Aug 2014 - 20:16:28    Titel: Nachschüssige unterjährige Rente, Interner Zinssatz, Problem

Hallo,

folgende Problemstellung:

Ich lege bei einer Bank 10.000 Euro an und erhalte im Gegenzug eine regelmäßige, monatliche Auszahlung (nachschüssig am Monatsende) von 300,-. Diese Rente wird 5 Jahre lang ausgezahlt, die Zinsgutschrift auf mein Kapital erfolgt jeweils am Jahresende. Mit welchem Zinssatz wird mein Kapital verzinst?

Um das Problem zu lösen, habe ich mal eine Zahlungsreihe gebildet und im Rechner den internen Zinssatz berechnet.

Code:
-10.000, +300, +300, +300 usw. für alle Auszahlungsperioden


Dabei kommt ein interner Zins IRR von 29,46% raus. Nah dran, aber leider nicht ganz korrekt.

Wenn ich die Rentenformel für nachschüssige Rentenzahlungen nehme

Code:
Rente = Barwert * q^n * (q-1/q^n -1)


komme ich mit 10.000 Euro und dem von mir errechneten Zins von 29,46% auf eine jährliche Rente von 4.063,41 €. Nehme ich nun noch die Formel für die unterjährige, nachschüssige Ersatzrente

Code:
Jährliche Ersatzrente = Rente * (m + i/2 * (m-1)


und löse zur Monatsrente auf komme ich auf eine monatliche Auszahlung von lediglich 298,33 Euro.

Sprich: Der errechnete Interne Zinssatz von 29,46% ist nicht ganz korrekt. Einer monatlichen Kapitalentnahme von genau 300,- Euro würde im obigen Beispiel vielmehr ein Zins von genau 29,83% entsprechen.

Es gibt also eine Diskrepanz zwischen dem errechneten internen Zinssatz für die Zahlungsreihe und dem "korrekten" Zinssatz einer Rente mit unterjähriger, nachschüssiger Rentenzahlung.

Frage: Warum kann ich die Verzinsung der Rente nicht mit dem Internen Zins ausrechnen, wo liegt hier der Fehler?
Und wichtiger: Gibt es eine Formel oder ein Verfahren, um den Zinssatz einer Rente bei unterjähriger, nachschüssiger Auszahlung zu bestimmen?

Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich. Vielen Dank für alle Anregungen Smile
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2955

BeitragVerfasst am: 07 Aug 2014 - 21:42:36    Titel: Re: Nachschüssige unterjährige Rente, Interner Zinssatz, Pro

dfinas hat folgendes geschrieben:
Ich lege bei einer Bank 10.000 Euro an und erhalte im Gegenzug eine regelmäßige, monatliche Auszahlung (nachschüssig am Monatsende) von 300,-. Diese Rente wird 5 Jahre lang ausgezahlt, die Zinsgutschrift auf mein Kapital erfolgt jeweils am Jahresende. Mit welchem Zinssatz wird mein Kapital verzinst?

Mal abgesehen von der lustigen Idee sein Geld zur Bank zu bringen: Was wird eigentlich / theoretisch nach 5 Jahren ausgezahlt?
dfinas
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Anmeldungsdatum: 16.10.2008
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 07 Aug 2014 - 21:50:47    Titel:

Es geht um eine nachschüssige, unterjährige Rentenzahlung. Das Kapital ist nach den 5 Jahren komplett aufgebraucht.
Schwarzes Smartie
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Anmeldungsdatum: 06.05.2006
Beiträge: 609
Wohnort: Paradise City a.k.a. Köln :)

BeitragVerfasst am: 08 Aug 2014 - 16:55:47    Titel:

Hey, erklär doch vielleicht einfach mal, was eine "nachschüssige, unterjährige Rentenzahlung" ist - dann bin ich sicher, dass dir jemand helfen kann.
Nicht jeder wird Lust haben, sich da einzulesen, um deine Frage zu beantworten.
Mathematrix
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Anmeldungsdatum: 31.01.2014
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 08 Aug 2014 - 17:39:54    Titel:

Mal kurz im Taschenrechner überschlagen und dann kommen doch ziemlich genau 26,1% p.a. als Zinssatz raus (eff. als interner Zinssatz 29,46 %).

Du musst Dich halt nicht für blöd verkaufen lassen und die Dinge ganz realistisch betrachten so wie sind.

Jemand leiht der Bank 10.000 EUR, diese möchte das Geld an den Verleiher per Annuitätentilgung (Annuität 300,- EUR mtl.) zu den genannten Konditionen (nachschüssig, unterjährig) innerhalb von 5 Jahren zurückführen.

Also bemühst Du ganz schlicht und passend die sog. Sparkassenformel um auf den gesuchten jährlichen Zinssatz zu kommen.
dfinas
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Anmeldungsdatum: 16.10.2008
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 08 Aug 2014 - 18:18:37    Titel:

@Mathematix: Du bist vermutlich auf dem richtigen Weg, genau diesen Gedanken hatte ich ja auch. Der korrekt Zins für die Problemstellung lautet übrigens 29,83.

Wenn der Zins gegeben ist, ist der Lösungsweg einfach: Formel für Rentenbarwert und dann die Formel für die monatliche Ersatzrente.

Ich habe ich das Problem ja ebenfalls gedanklich umgedreht, als Kredit bzw. Annuität betrachtet und den internen Zinssatz näherungsweise bestimmt.

Der interne Zins für die Zahlungsreihe lautet dann: 29,46

Bei der oben genannten Fragestellung taucht jedoch immer eine Differenz zwischen dem internen Zins der Zahlungströme und dem "richtigen Zins" auf, wie er sich aus den Rentenformel ergibt.

Code:
Problem als Kredit bzw. Annuität gedacht. Zahlungsreihe
-10.000 +300 +300 usw.
Bestimmung des IRR über Nahäherungsverfahren: 29,46


Code:
Ergebnis in Rentenformeln eingesetzt: Monatliche Rente immer zu niedrig. Der richtige Zins nach den Rentenformeln wäre hier 29,83


Die Differenz der beiden Zinssätze kann je nach verwendeten Zahlen auch größer ausfallen.

Die Frage ist, warum dort diese Differenz entsteht, wenn ich das Problem als Annuität sehe und den internen Zins bestimme. Für die mathematisch korrekt Lösung, müsste man vermutlich die Formel für die monatliche Ersatzrente in die Formel für den Rentenbarwert einsetzen und das alles dann nach i bzw. q auflösen??? Die Sparkassenformel enthält zusätzlich noch den Endwert, den ich ja auch nicht habe und ohne den Zins auch nicht bestimmen kann.

Ich weiss, das das Problem nur nachvollziehbar ist, wenn man sich etwas Zeit nimmt. Ich danke allen, die die tun bzw. bereits getan haben.
Mathematrix
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Anmeldungsdatum: 31.01.2014
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 08 Aug 2014 - 19:19:12    Titel:

Bei einem eff. internen Zinssatz von 29,83% p.a. und allen sonstigen Parametern wie angegeben, bleibt nach 5 Jahren noch eine Restschuld 211,18 EUR übrig.

Mir ist daher schleierhaft, warum Du Dich derart an diesem Prozentsatz von 29,83% festbeißt, evtl. potenzieren sich da bei Dir einige Rundungsfehler auf...
dfinas
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Anmeldungsdatum: 16.10.2008
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2014 - 17:17:19    Titel:

Danke für Deine Antwort. Ich denke nicht, das die Differenz auf Rundungsfehler zurückzuführen ist, sondern eher darauf, wie unterjährige Zahlungen behandelt werden. Die Differenzen vergrößern sich mit der Laufzeit.

Der Rechner hier z.B. löst irgendwie die Formeln für die nachschüssige Rente zum Zinssatz auf und kommt auf das richtige Ergebnis:

http://www.auszahlplan.net/auszahlplan-rechner/

Füttert man jedoch einen beliebigen Kreditrechner mit den gleichen Daten, kommt immer ein leicht abweichender Zins raus.

Meine Vermutung: Bei der Rentenrechnung werden unterjährige Zahlungen mit dem relativen Zinssatz j=i/m behandelt. Bei der Berechnung des internen Zinssatzes gilt hingegen die Wiederanlageprämisse und daher der konforme Periodenzinssatz!?
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