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Differentialgleichungen
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trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 22 Jul 2005 - 19:21:46    Titel: Differentialgleichungen

Hallo,

hab mich fuer eine Klausur vorzubereiten.
Nur mit diesen Differentialgleichungen komm ich nicht klar.

Wäre nett, wenn mir jemand mal bitte die folgenden Einfachen
Beispiele vorrechnen könnte :D

1.
Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

y' - (2y)/x = - 3/x^2 , y(1) = 0

2. Bestimme die allgemeine Lösung der DGL

y'' + 5y' + 6y = 0

3. Gegeben ist folgende DGL

y'' + 4y' + 5y = g(x)

Die Nullstellen des char. Polynoms sind r1 = -2+i und r2 = -2-i

Mit welchem Ansatz vom Typ der rechten Seite kann man eine Partikuläre Lösung der inhom. DGL bestimmen, wenn

g(x) = e^(2x)sin(x) bzw. g(x) = e^(-2x)cos(x)
Es sind nur Ansätze anzugeben.

Bestimmen sie eine partikuläre Lösung der inhom. DGL, wenn

g(x) = e^(-2x)

DANKE...

Damit sollte ich dann den rest nachvollziehen können,
die links die ich finde sind mir alle zu mathematisch :(

cu...
Polarbär
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Anmeldungsdatum: 21.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 22 Jul 2005 - 23:25:53    Titel:

hi,

achtung, das wird wahrscheinlich eine sehr ausführliche antwort zu deiner 1. aufgabe:

y' - (2y)/x = -3/x² y(1) = 0

1. Lösen der homogenen DGL
y' - (2y)/x = 0 Arrow y' = (2y)/x Arrow dy/dx = (2y)/x
(ich kürze das integralzeichen, welches ich ja ni darstellen kann mit "int" ab!)

int(dy/2y) = int(dx/x) Arrow 1/2 int(dy/y) = int(dx/x)

1/2 ln|y| = ln|x| + ln C Arrow e^(1/2 ln|y|) = e^ln|x| + e^ln C = e^(ln|x|*C)

y^(1/2) = C*x Arrow y(h) = C*x²
( y(h) -> allg. Lsg. der homogenen Gl.)

2. Variation der Konstanten ( C -> K(x) )
y = K(x)x²
y' = K'(x)x² + 2*K(x)x

3. Einsetzen in Ausgangsgleichung
K'(x)x² + 2K(x)x - (2K(x)x²)/x = -3/x²

K'(x)x² = -3/x² Arrow K'(x) = -3/x^4

K(x) = -3 int(1/x^4 dx) = -3 int(x^(-4) dx) Arrow K(x) = 1/x³ - 3C

y = K(x)x² (siehe oben) Arrow y = x²(1/x - 3C)

4. Lösen der AWA
einfach y und x in y = x²(1/x - 3C) einsetzen und nach C umstellen ... dann bekommen wir für C = 1/3 ... wieder einsetzen ...

Ergebnis: y = x - x²


puh ... geschafft ... ich hoffe mal das stimmt so Wink
werd morgen mal die andern 2 rechnen.

bis dahin,
bianka
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 23 Jul 2005 - 18:31:21    Titel:

Hi,

vielen Dank fuer die ausführliche Antwort in Teil1

ich muss leider zugeben, dass ich gestern weg war und mein blut
sich heute immer noch anfühlt, wie flüssiges stahl ;p

deshalb konnte ich mir die Lösung noch nciht genau angucken ;p

ich werde das aber morgen alles versuchen nachzurechnen und
werde mich bei evtl. Fragen rückmelden.

Also vielen Dank nochmal und bis morgen....
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 25 Jul 2005 - 10:26:37    Titel:

:D

kann mir denn keiner bei Aufgabenteil 2 und 3 helfen? :(

cu..
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 26 Jul 2005 - 12:24:17    Titel:

Hi nochmal

also die allgemeinen Lösungen einer solchen DGL 2ter ordnung
kann ich nun lösen :D

z.B. y''+5y'+6y = 0

Anstatz: y = e^(λ*x)

=> λ^2+5λ+6 = 0

=> λ1 = -2 und λ2 = -3

=> y(x) = c1*e^(-2x) + c2*e^(-3x)

Mit Aufgabenteil 3 komme ich aber absolut nicht klar (siehe oben),
wäre nett, wenn mir einer nen Tip geben könnte....Danke

cu...
Polarbär
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Anmeldungsdatum: 21.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 16:06:05    Titel:

hi,

hier nur mal ein kurzer tipp zur lösung der aufgabe 3.:

nullstellen:
-2 + i --> y = e^(-2x) cos x
-2 - i --> y = e^(-2x) sin x

y(h) = C1*e^(-2x) cos x + C2*e^(-2x) sin x

der ansatz für die störfuntion r(x) = e^(2x) sin x lautet:

y(p) = A e^(-2x) * ( B sin x + C cos x)

das musst du jetzt noch 2 mal ableiten und dann in die ausgangsgleichung einsetzen ... so umformen dass die Lösung von der form A*e^(-2x)*( (... + ...)*sin x + (... + ...)*cos x) ist. Dann machst du einen Koeffizientenvergleich und bekommst die werte für A, B und C raus. Fertsch! Wenn du trotzdem nicht weiter weißt kann ich den lösungsweg auch nochma ausführlich hinschreiben.

liebe grüße, bianka
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 22:57:47    Titel:

Jo Hi,

vielen Dank, habs hinbekommen ,p

y(p) = e^(-2x)

meiner rechnun nach ^^

cu und THX
Polarbär
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Anmeldungsdatum: 21.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 23:59:21    Titel:

exakt Wink

aber vergiss nich: y = y(h) + y(p)


nach einem weiteren tag mathe lernen gehe ich nun ins bett und hoffe nicht von formeln und zahlen träumen zu müssen Wink

gute nacht,
bianka
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