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Ausklammern bei vollständiger Induktion
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Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2014 - 17:11:26    Titel: Ausklammern bei vollständiger Induktion

Hallo,

ich probiere seit längerem folgende Gleichung hinzubekommen:

Aufgabenstellung: 77 777^n + 59^n ist durch 671 teilbar für alle ungeraden n.

Die ungeraden n stelle ich mit n=2m-1 dar.


Indukstionsanfang mit n=1 ist erfüllt.

Induktionsschritt:

N: 77777^(2m-1)+59^(2m-1)

N+1: 77777^(2(m+1)-1)+59(2m+1)-1)
77777^(2m+1)+59(2m+1)

Ich bekomme den Folgenden Schritt nicht hin:

(77777^(2m-1)+59^(2m-1))*77777^2
-59^(2m-1)*77777^2+59^(2m+1)

Kann mir da vielleicht einer nen Tip geben wie ich auf den Ausdruck komme.

Ray
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2014 - 17:34:53    Titel:

Hallo!

Mal davon abgesehen, dass man diese Aussage besser nicht versucht per VI zu beweisen (sondern sich der Mittel der Zahlenkongruenzen/ Restklassenrechnung bedient, womit es viel schneller und direkt folgt, da ist), dürfte hier das Vorgehen etwa folgendermaßen aussehen:

Es ist

Nun ist nur noch zu zeigen, dass beide Summanden durch 671 teilbar sind...


Cyrix

edit: Darstellungsfehler des TeX-Skriptes hier beseitigt...
Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 08:22:08    Titel:

Vielen Dank ich werde mir das mit den Restklassen ebenfalls anschauen.

Ich habe deine Gleichung mal ausmultipliziert. So wie ich das sehe hast du mit (77 777^2)/(77 777^2) erweitert um mit der Zahl unter dem Bruchstrich aus der 77 777^(2m+1) eine 77 777^(2m-1) zu machen.
Aber wie genau gehst du mit den 59^(2m-1) vor. Das ist mir leider immer noch nicht klar.


Ray
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 09:27:27    Titel:

Der erste Summand entsteht, indem man einerseits dort die 77.777^(2m+1) daraus erhalten will, andererseits aber auch als Faktor den Term aus der Induktionsvoraussetzung stehen haben möchte.

Der zweite Summand räumt dann nur noch auf, was sich zwischen dem Zielwert und dem ersten Summanden unterscheidet (also nur noch Dinge, die sich auf die 59-er-Potenzen beziehen).

Cyrix
Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 11:10:20    Titel:

Genau beim zweiten Term habe ich noch Probleme.
Ich habe hier nun :

77777^(2m-1)*777777^2+59^(2m-1)*59^2

Wie wird nun ausgeklammert?

Sorry irgendwie check ich das nicht.

Ray
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 11:24:39    Titel:

Wenn du dir mal die Struktur dessen anschaust, was ich dir hingeschrieben habe, dann wirst du feststellen, dass da eine Summe steht und kein Produkt. Also ist dies nicht durch Ausklammern entstanden...

Cyrix
Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 12:09:56    Titel:

Jetzt habe ich es: Ich war so auf die Multiplikation konzentriert. Durch das neutrale Element der Addition (0) gelingt es nun. Ich muss mit 59^(2m-1)*77777^2-59^(2m-1)*77777 ^2) =0 erweitern!

Vielen Dank für deine Hilfe
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8125
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 12:20:33    Titel:

Zitat:
Ich muss mit ... 0 erweitern!

Das geht nicht. Erweitern kann man nur Brüche.

Und zwar, indem man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert.
Mit null erweitern würde bedeuten: Zähler und Nenner mit null multiplizieren.
Dann stünde da null durch null. Und das ist eine unbestimmte Form.

Was meinst du wirklich?

Gruß
mike
Zitat:
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 12:37:39    Titel:

Ja, man kann das auch als "Null addieren" auffassen.

Cyrix
Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2014 - 12:40:16    Titel:

Gut vielleicht ist Erweitern hier der falsche Begriff.
Ich habe z.B (........) +1-1 dazu gefügt.

Was in Summe 0 ist und deswegen erlaubt ist.

Ray
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