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Konvergenz- bzw Divergenznachweis
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Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2014 - 12:24:42    Titel: Konvergenz- bzw Divergenznachweis

Hallo,

ich bin mir nicht sicher ob ich bei folgender Aufgabe richtig vorgegangen bin. Vielleicht kann da wer mal einen Blick drauf werfen.

Führen Sie einen Konvergenz- bzw Divergenznachweis für die die Reihe:

Summe k=1 geht bis unendlich (2^k/(k+2)! - (-1)^k/k^2)

Diesen Teil 2^k/(k+2)! Habe ich mit dem Quotientenkriterium gelöst und komme auf einen Grenzwert von 2/3 welcher kleiner 1 ist und somit konvergent. Wegen ( 2/n+2/3).

(-1)^k/k^2) Das hier sieht mir wegen (-1)^k alternierend aus. Deswegen Leibnizkriterium. Was mir für die ersten Elemente -1<1/4>-1/9 liefert.
Da dies nicht immer kleiner wird ist dies doch divergent, oder? Und somit der auch der ganze Ausdruck divergent ist.


Ray
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24250

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2014 - 12:51:10    Titel:

Hallo!

Schau dir das Leibniz-Kriterium noch einmal genauer an. In dem Teil der Bedingung, wo es um eine fallende Nullfolge geht, stehen Beträge...

Was deine Zerlegung der einen Reihe in zwei angeht (du zerlegst ): Auch dies kannst du nicht so einfach tun. Denn damit diese Umordnung der Summanden sicher nicht den Wert der Reihe (oder deren Konvergenz) beeinflusst, müssten beide Summanden-Reihen absolut konvergent sein. Ob sie das sind, hast du nicht betrachtet...


Cyrix[/tex]
Ray1983
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Anmeldungsdatum: 12.01.2012
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2014 - 14:00:06    Titel:

Das mit den Beträgen habe ich komplett übersehen. Im Buch war ein Beispiel ohne Betragsstriche und dies nur im Text erwähnt Confused

Mache ich nun den erst den Nenner der beiden Brüchen gleich und kann dann es in zwei Summern aufschreiben?

Hätte dann dort:
Summe... ( (2^k*k^2)/(k+2)!*k^2) - (-1)^k*(k+2)!/ ((k+2)!*k^2) )
stehen?

Ray
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24250

BeitragVerfasst am: 09 Sep 2014 - 14:11:17    Titel:

Du kannst schon so vorgehen, wie du es ursprünglich vorgeschlagen hast. Allerdings waren da deine Überlegungen eben teilweise falsch (Leibniz-Kriterium) bzw. unvollständig (absolute Konvergenz).

Cyrix
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 62

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2014 - 22:05:48    Titel:

Zitat:
Was deine Zerlegung der einen Reihe in zwei angeht (du zerlegst ): Auch dies kannst du nicht so einfach tun. Denn damit diese Umordnung der Summanden sicher nicht den Wert der Reihe (oder deren Konvergenz) beeinflusst, müssten beide Summanden-Reihen absolut konvergent sein.


Das ist nicht richtig! Gewöhnliche Konvergenz (also nicht unbedingt absolute) der beiden einzelnen Reihen reicht aus.

Das sind die Grenzwertsätze angewandt auf die Folgen und und hat mit Umordnung nichts zu tun.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24250

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2014 - 00:22:04    Titel:

Naja, es wird schon umsoritert, denn Reihe (a_k+b_k) = (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+..., während Reihe (a_k) + Reihe (b_k) = (a_1+a_2+...) + (b_1+b_2+...) eine andere Summationsreihenfolge darstellt.

Dass dies in jedem endlichen Fall übereinstimmt, ist nicht überraschend, da man dort ja auch Summen ohne Probleme umordnen kann...


Cyrix[/tex]
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 62

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2014 - 01:20:21    Titel:

Wir sind hier ja in der Mathematik, da kann man alles beweisen. Ich werde dir also weiter unten einen ausführlichen Beweis liefern, dass man keine absolute Konvergenz benötigt. Sage mir, was daran falsch ist, wenn du möchtest oder zeige mir einfach zwei Reihen, die zwar konvergieren, deren Summenreihe aber nicht konvergiert oder auch nur einen Grenzwert hat, der nicht mit der Summe der Grenzwerte übereinstimmt. (Es wird dir nicht gelingen Wink )

Siehe dazu auch http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29#Summen_und_Vielfache

dort steht ebenfalls, dass man keine absolute Konvergenz benötigt.

Hier nochmal der Beweis ausführlich:


Wir haben die beiden Reihen und . Diese seien beide konvergent. Dies heißt nach Definition, dass und existieren. Nach Grenzwertsätzen folgt, dass existiert und der Grenzwert mit der Summe der beiden anderen Grenzwerte übereinstimmt. Hier geht jetzt ein, dass das behauptete für endliche Summen gilt, denn man kann jetzt umschreiben zu . Dies ist aber nach Definition gleich . Diese Reihe ist also konvergent und wir haben dazu keine absolute Konvergenz benötigt.

Zitat:
Naja, es wird schon umsoritert, denn Reihe (a_k+b_k) = (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+..., während Reihe (a_k) + Reihe (b_k) = (a_1+a_2+...) + (b_1+b_2+...) eine andere Summationsreihenfolge darstellt.


Ach komm, bitte nicht mit Pünktchenschreibweise anfangen. Dass man dagegen nicht argumentieren kann, liegt nicht an der Richtigkeit, sondern daran, dass es unpräzise ist.

Es ist definitiv keine Umordnung von , weil die Voraussetzung dafür überhaupt nicht erfüllt ist. Um eine Umordnung zu haben, braucht man zwei Reihen, wobei die eine dann eine Umordnung der anderen sein soll und eine Permutation von . Das ist hier einfach nicht gegeben. Auf der einen Seite steht zwar eine Reihe, auf der anderen aber nicht, sondern eine Summe zweier Reihen. Es macht also garkeinen Sinn von einer Umordnung zu sprechen.
Es ist auch nicht möglich, das ganze in das Setting einer Umordnung zu versetzen, zumindest nicht so, dass es danach deiner Pünktchenschreibweise entspricht.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24250

BeitragVerfasst am: 11 Sep 2014 - 19:04:45    Titel:

Wie gut, dass es in den natürlichen Zahlen nur eine ohne Vorgänger gibt. Smile Du hast natürlich recht: Was meine "Umordnung" mittels Pünktchen-Schreibweise angeht, so ist dort keine Reihe (mit den natürlichen Zahlen als Indexmenge) angegeben, denn der Summand b_1 hätte dort keinen direkt vorhergehenden Summanden.

Es war offenbar schon spät und ich nicht konzentriert genug.

Danke für den Hinweis! Einfache Konvergenz aller Beteiligten genügt. Smile


Cyrix
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