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Laplace Transformation
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gulirana
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Anmeldungsdatum: 08.02.2015
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2015 - 17:22:44    Titel: Laplace Transformation

In der Aufgabe sind so viele Informationen, ich weiss einfach nicht, wie ich anfangen soll..Wie könnte ich anfangen?

Ein Federschwinger (Masse m, Federsteifigkeit k) erregt durch eine Kraft f(t) und wird durch eine geschwindigkeitsproportionale Flüssigkeitsreibung (Dämpfungskonstante d) gedämpft.
Die Auslenkung x(t) genügt einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung (Schwinungsgleichung) mit konstanten Koeffizienten
mx"(t)+ dx′(t)+ kx(t)= f(t)

Gesucht ist die Auslenkung des Federschwingers für t≥0 ,die Masse m=1 kg, die Dämpfungskonstante d=2kg/s, die Federkonstante k=1N/m und Erregerkraft
f(t)=o(t)⋅e^(−t)⋅sin(t), wenn im Zeitpunkt t=0s die Anfangsauslenkung x(0)=0 war und das System in Ruhe war.

Die Aufgabe soll mit Hilfe der Laplace Transformation nach t gelöst werden.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2015 - 17:31:39    Titel:

Das ist doch nur eine Übung zum Umgang mit der Laplace-Transformation.
Der physikalische Hintergrund (gedämpfte Schwingung) kann dir dabei doch egal sein.

Denn dir sind die Differentialgleichung und ihre Anfangsbedingungen gegeben. Und es ist ein bestimmter Wert der Lösungsfunktion gefragt.

Du musst nur
- mit der L.T. die allgemeine Lösung der Dgl. bestimmen,
- durch Einsetzen der Angangsbedingungen die spezielle Lösung ermitteln
- und dann durch Einsetzen den gesuchten Funktionswert errechnen.

Gruß
mike
gulirana
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Anmeldungsdatum: 08.02.2015
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2015 - 22:32:44    Titel:

wenn ich für m=1, d=2, k=1 und x(0)=0 einsetze und die Ableitungsregel anwende, dann kriege ich das raus:

[s^2*Y(s)- s*x(0)-x'(0)]+2*[s*Y(s)-x(0)]+Y(s)=F(t)

Y(s)*(s^2+ 2s+1)= F(t) + x'(0)

Y(s)= (F(t) + x'(0)) / (s^2+2s+1)

und ab hier weiss ich nicht mehr weiter...
ist eigentlich x'(0) nicht gleich 0 ?
muss ich für f(t)= o(t)*e^(-t)*sin(t) einsetzen und so rechnen?
gulirana
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Anmeldungsdatum: 08.02.2015
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 09 Feb 2015 - 16:55:36    Titel:

also gut ich habe mit den Vabriablen gerechnet und bekomme heraus:

m[s^2*X(s)-0-x'(0)] + d[s+X(s)-0] + k*X(s) = L{o(t)*e^(-t)*sin(t)} = ((-t)*o(t)) / ((s+1)^2+t^2)

X(s)*(ms^2+ds+k) = mx'(0) + ((-t)*o(t)) / ((s+1)^2+t^2)

X(s)= [(o(t)*(-t)) / ((s+1)^2+t^2]*(ms^2+ds+k)) + mf'(0) / (ms^2+ds+k)

wenn ich hier G(s)=1/(ms^2+ds+k) einsetze kommt dann durch die quadratische Ergänzung das raus:

G(s)= 1 / (m (s+d/2m)^2 + (k-d^2/4m)

was muss ich denn jetzt machen?

ist das kompliziert :/
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2015 - 14:33:42    Titel: Partialbruchzerlegung

Für das gegebene gedämpfte Masse-Feder-System gilt die Kraft-Gleichung
m·x"(t)+ d·x'(t)+ k·x(t) = f(t) ⊶ m·[s²·X(s)-s·x(0 s)-x'(0 s)]+ d·[s·X(s)-x(0 s)]+ k·X(s) = F(s)
mit gegebener antreibender Kraft f(t) = m·a·ε(t)·exp(-ϒ·t)·sin(ω·t) ⊶ F(s) = m·a·ω÷[(s+ϒ)²+ω²].

Mit den gegebenen Randbedingungen x(0 s) = 0 m, x'(0 s) = 0 m·s⁻¹ (Ruhe) folgt im Bildbereich
m·s²·X(s)+ d·s·X(s)+ k·X(s) = F(s).
Auflösen nach der gesuchten Auslenkung im Bildbereich ergibt
X(s) = 1÷m · 1÷(s²+d÷m·s +k÷m) ·F(s).
Betrachtung der gegebenen numerischen Daten zeigt, dass d = 2·m·ϒ und k = m·ϒ² gelten, d. h. ½·d÷m = √(k÷m) = ϒ (s. a. z. B. "Aperiodischer Grenzfall").
Damit kann die DGL in der Form
X(s) = 1÷m · 1÷(s²+2·ϒ·s +ϒ²) ·F(s)
bzw.
X(s) = 1÷(s+ϒ)² ·a ·ω÷[(s+ϒ)²+ω²]
angegeben werden.

Für die PBZ kann z. B. ein Ansatz der Form
1÷(s+ϒ)² ·a ·ω÷[(s+ϒ)²+ω²] = A₁÷(s+ϒ) +B₁·ω÷(s+ϒ)² +[A₂·(s+ϒ) +B₂·ω]÷[(s+ϒ)²+ω²]
gewählt werden.
Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt die Gleichung
a ·ω = A₁·(s+ϒ)·[(s+ϒ)²+ω²] +B₁·ω·[(s+ϒ)²+ω²] +[A₂·(s+ϒ) +B₂·ω]·(s+ϒ)².
° Einsetzen einer der beiden komplex konjugierten Nenner-Nullstellen -ϒ+j·ω für s ergibt eine komplexe Gleichung,
deren Imaginärteil A₂ = 0 m und
deren Realteil B₂ =-a÷ω² liefert.
° Einsetzen der zweifachen Nenner-Nullstelle -ϒ für s liefert B₁ = a÷ω².
° Einsetzen der zweifachen Nenner-Nullstelle -ϒ für s in die Ableitung der Gleichung nach s ergibt A₁ = 0 m.

Einsetzen der so gefundenen Ansatz-Konstanten A₁, B₁, A₂ und B₂ in den Ansatz ergibt die gewünschte PBZ
X(s) = a÷ω ·{ 1 ÷(s+ϒ)² -1÷ω ·ω÷[(s+ϒ)²+ω²]}.

x(t) = a÷ω ·exp(-ϒ·t) ·{ t -1÷ω ·sin(ω·t) }.

Zwecks Verifikation kann diese Lösung zusammen mit ihren beiden Ableitungen
x'(t) = a÷ω ·exp(-ϒ·t) ·{1 -ϒ·t -cos(ω·t) + ϒ÷ω ·sin(ω·t)},
x"(t) = a÷ω ·exp(-ϒ·t) ·{-2·ϒ +ϒ²·t +2·ϒ·cos(ω·t) -{ϒ²-ω²}÷ω ·sin(ω·t)}
in die linke Seite m·x"(t)+ 2·m·ϒ ·x'(t)+ m·ϒ²·x(t) der DGL eingesetzt werden,
dann folgt die rechte Seite m·a·exp(-ϒ·t)·sin(ω·t).
Die Anfangsbedingungen x(0 s) = 0 m und x'(0 s) = 0 m·s⁻¹ sind erfüllt.
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2207

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2015 - 14:56:13    Titel: Re: Partialbruchzerlegung

xeraniad hat folgendes geschrieben:

Die Anfangsbedingungen x(0 s) = 0 m und x'(0 s) = 0 m·s⁻¹ sind erfüllt.

Die Lösung für so eine Schwingung kann ich ohne viel Rechnung angeben (das war auch schon in der ursprünglichen Fragestellung Quatsch, was da stand). Und Deine Lösung erfüllt die im Übrigen auch nicht.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2015 - 15:11:28    Titel:

Ja, wenn jh8979 das sagt... dann sag ich lieber nix mehr tschüss
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2207

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2015 - 15:21:55    Titel:

xeraniad hat folgendes geschrieben:
Ja, wenn jh8979 das sagt... dann sag ich lieber nix mehr tschüss

Sorry, ich haette vllt sagen sollen, dass Deine Lösung mit der Laplace-Transformation wirklich schoen aufgeschrieben ist.

Mein Kommentar war mehr eine Bemerkung gegenüber der ursprünglichen Aufgabenstellung, als über Deine Lösung.
gulirana
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Anmeldungsdatum: 08.02.2015
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2015 - 00:15:35    Titel:

Hallo,

ich bedanke mich für die ausführliche Antwort und die Mühe. Smile
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