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quadratische Gleichung (in C)
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Chopper123
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 26 Jul 2005 - 20:23:12    Titel: quadratische Gleichung (in C)

Embarassed

Hi.

Kurze Frage:

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung in z Element C!

-4z² + 16z - 17 = 0
-----------------------------

So "weit" bin ich:

Normalform:

z² - 4z + 4,25 = 0

--> z(-1-) = 2 + ( 4 - 4,25)^1/2
--> z(-2-) = 2 - ( 4 - 4,25)^1/2

So.
Wir hatten die komplexen Zahlen nur 5 Minuten und irgendwie was anderes behandelt, als diese Aufgabe( Grundrechenarten).

Wie bekomme ich also die Lösung dieses Problems?

Ich weiss, dass:
i = (-1)^1/2

--> 2 - 0,25i
--> 2 + 0,25i
???????????????


Embarassed

help
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 13:45:31    Titel:

Hi,

also das geht ganz genauso, wie mit reellen Zahlen.

Also z.B. sei n \in N

dann gilt: Wurzel(-n) = i*Wurzel(n)

-4z² + 16z - 17 = 0 | *(-1)
4z² - 16z +17 = 0 | / 4
z² - 4z + 17/4 = 0

p-q-Formel

z1 = 2 + Wurzel(4 - 17/4) = 2 + Wurzel(-1/4) = 2 + i*Wurzel(1/4)
= 2 + 0,5*i

z2 = 2 - i*Wurzel(1/4) = 2 - 0,5*i

cu...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 13:48:50    Titel:

Ich habe gerade in diesem Semester Ana I korrigiert. Du würdest für obige Lösung von mir 0 Punkte bekommen mit der Bemerkung "Komplexe Wurzeln" Smile
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 13:53:59    Titel:

brutal!!

wieso das denn?

bitte um korrektur!


P.S.: Also z.B. sei n \in N

dann gilt: Wurzel(-n) = i*Wurzel(n)
-----------------------------------------

Das gilt also eigtl auch nur in meinem Kopf .p


Aber so habe ich solche sachen immer gemacht :(

cu...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2005 - 14:08:26    Titel:

Naja. Ein wenig Brutalität schadet auch hin und wieder mal nicht. Das Problem ist, dass es im Komplexen die "zweite Wurzel" zwei mal gibt. Und somit ist ein Ausdruck z.B. sqrt(-4) so nicht eindeutig. Und obwohl man durch den Weg richtiges Ergebnis bekommt, indem man mit + und - rumhantiert, ist der Lösungsweg an sich sehr bedenklich.

Der richtige Weg ist entweder über eine explizite Lösungsformel. Die gibt es. Oder durch ein System von Gleichungen:

-4z² + 16z - 17 = 0

Sei z = a+ib. Dann gilt

-4(a+ib)^2+16*(a+ib)-17 = 0
-4a^2 + 16a + 4b^2-17 - 8abi + 16bi = 0

Eine K.Zahl ist genau dann =0, wenn ihr Realteil und Imaginärteil = 0 sind.

(I) -4a^2+16a+4b^2-17 = 0
(II) -8ab+16b = 0

Da die Lösungen komplex sind ist b <> 0. Daraus folgt

-8a + 16 = 0
a = 2

Einsetzen von a in I ergibt dann das gewünschte b.
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