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Polynom Nullstellen
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Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3126

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2015 - 22:31:37    Titel: Polynom Nullstellen

Hallo,

ich habe ein Problem.
Ich habe in Wiki eben folgendes gelesen

http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle#Polynome_mit_ausschlie.C3.9Flich_reellen_Nullstellen

Dort wird ein Intervall angegeben, in welchem alle Nullstellen liegen, sofern es welche gibt.

Für n=2, also für quadratische Polynome ergibt sich genau die pq-Formel, die dann die exakten Nullstellen liefert.

Kennt jemand den Hintergrund dieser Formel?

Vor allem finde ich interessant, dass nur zwei Koeffizienten des Polynoms das Intervall bestimmen, egal, was die anderen machen.

Wie kann ich mir das erklären? Klar, dass die höchste Potenz stark ins Gewicht fällt und mit fallender Potenz die restlichen Summanden immer weniger Beiträge liefern.

Ich hoffe, jemand kennt den Beweis.
cyrix42
Valued Contributor
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 30 Mai 2015 - 16:13:24    Titel:

Hallo!

Ich gehe davon aus, dass man hier Vieta braucht:

Es ist und damit dann und .

Nutzt man dann aus, dass alle Nullstellen reell sind, kann man z.B. fordern und das zur Abschätzung nutzen.

edit: Nen bisschen vereinfachen können wir das Ganze noch:

Sei das arithmetische und das quadratische Mittel der n Nullstellen des Polynoms P. Dann wissen wir z.B. .

Außerdem vereinfachen sich die Koeffizienten zu und .

Damit ergibt sich dann für den Teil nach dem Plusminus aus der Wikipedia-Formel
.

Was ich nun noch sehe, ist . Aber wie einem das weiterhilft, sehe ich im Moment nicht.

Cyrix
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3126

BeitragVerfasst am: 31 Mai 2015 - 11:09:56    Titel:

Danke für Deine Mühe. Vietasatz hatte ich nicht auf dem Schirm, aber das wird wohl der Schlüssel sein.

Vielen Dank!
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