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Beweis: Satz des Pythagoras anhand eines Dreiecks
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FernAbi16
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Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2015 - 19:49:39    Titel: Beweis: Satz des Pythagoras anhand eines Dreiecks

Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:



Es soll also der Satz des Pythagoras bewiesen werden.
Gegeben ist:



Die Lösung für diese Aufgabe sieht folgendermaßen aus:




Meine Frage:
Die Vektoraddition
Wie komme ich rechnerisch, nicht zeichnerisch da drauf, unter der Voraussetzung, dass der Satz des Pythagoras bewiesen werden soll?

Ich kann mit der Lösung nicht so recht was anfangen. Zwar kann ich graphisch nachvollziehen wieso ich auf den o.g. Summenvektor komme, aber ich kann der mathematischen Logik gerade nicht ganz folgen und bin auch nicht ganz sicher, wie ich mich / mein Problem ausdrücken soll Very Happy

Vg
GrayFeyn
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Anmeldungsdatum: 11.05.2015
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2015 - 21:09:29    Titel:

Also so 100% verstanden habe ich die genaue Frage jetzt nicht, also zuerst einmal dazu wie man auf kommt:
Im Prinzip ist das egal wie man es definiert. Es ist nur wichtig, dass man durch und ausrückt. Genau so funktionieren würde: was meiner Meinung nach vielleicht auch anschaulicher wäre. (Dazu müsste man natürlich in der Skizze den Vektor umdrehen)

Also die Grundidee ist einfach nur das bereits erwähnte, dann
bilden dann erhält man: dies kann man dann nach der binomischen Formel auflösen, was bei Vektoren unter dem Skalarprodukt genau so funktioniert wie bei Skalaren. Da das Skalarprodukt von , da der Winkel zwischen beiden 90° beträgt, fällt der mittlere Term weg und es bleibt übrig, das ganze in die Definition mit dem Winkel und Betrag eingesetzt ergibt dann das weitere was du bei dir stehen hast, da der Winkel eines Vektors zu sich selbst 0° beträgt[/tex]
FernAbi16
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Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 53

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2015 - 22:00:14    Titel:

Ich denke mein wesentliches Problem ist die Vektoraddition oder Subtraktion.

Grafisch verstehe ich das
ist.

Wenn ich mir das als Kräfte vorstelle stelle ich mir folgendes vor:

Eine Person zieht von A nach B und dann von B nach C, dies wäre dasselbe wie als würde dieser von A nach C ziehen, also

Jetzt schreibst du:
Zitat:
Dazu müsste man natürlich in der Skizze den Vektor umdrehen


Ich habe mal gelernt, dass der Vektor ist, wieso kann ich das einfach umdrehen? Wenn ich also umdrehe, ändern sich doch die Komponenten oder nicht? Also in diesem Fall würde ja x negativ werden.

Mathematisch kann ich das ganze nur nicht so richtig begründen.

Ausgehend von der Zeichnung gilt doch:








Hier ein Punkt:

oder irre ich mich?

Kann ich bei den Vektoren so nicht rechnen? Weiter könnte man ja rechnen:




Stimmt das alles? Embarassed
GrayFeyn
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Anmeldungsdatum: 11.05.2015
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2015 - 06:25:57    Titel:

Also erstmal tut mir leid fürs verwirren: Ich meinte natürlich, dass wenn man in der Skizze bereits andersherum definiert hätte könnte man es auch "umdrehen" und man müsste nicht so viel umstellen.

Also ist die Vektoraddition dein Problem? Also dann kannst du dir das wie folgt vorstellen: Wenn du um b zu erhalten erst c und dann a entlang gehen musst, musst du um c zu erhalten erst b entlang gehen und danrach -a (also a entgegen der Richtung in die der Vektor zeigt)

Also deine erste Herleitung ist richtig mit Sinus und Kosinus, aber beachte bitte, dass du durch einen Vektor nicht teilen darfst, also musst du hier den Betrag nehmen, ab dem Quadrat ist das ja dann wieder äquivalent. Aber das du da gemacht hast ist keine richtig mathematische Herleitung über Vektoren, sondern wegen der Betrag hättest du das genau so gut ohne Vektoren nur mit Seitenlängen herleiten können, also genau genommen ist das keine Herleitung mehr über Vektoren.

Diese Ungleichung ist klar,denn: zieht man a^2 ab, so erhält man

Der letzte Teil stimmt so nicht, denn
Also wäre

Ich hoffe das hilft dir erstmal ein wenig. Und senkt die Verwirrung ein wenig
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