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exakte Berechnung der Verteilungsfunktion bei t-Verteilung
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makaveli
Newbie
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Anmeldungsdatum: 30.07.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 30 Jul 2005 - 13:55:41    Titel: exakte Berechnung der Verteilungsfunktion bei t-Verteilung

Aufgabe:

Vergleichen Sie fuer eine t(20)-verteilte Zufallsvariable die Tschebyscheff'sche Abschaetzung fuer W(-3<X<3) mit der exakten Wahrscheinlichkeit!

nach Tschebyscheff komme ich auf >= 0,8765

aber wie berechnet man es exakt?
in der Tabelle kann man den Wert nicht direkt finden.
mit N(0;1) kann man ja auch nicht approximieren, da t=20 < 30

Hat jemand die Ahnung wie man weiter vorgeht?

Danke im vorraus!!!
kpforr
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 21.07.2005
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2005 - 01:18:43    Titel:

die Dichtefunktion zur Student-t-Verteilung mit Freiheitsgrad m ist definiert durch:
f(t):=1/sqrt(m*Pi) * GammaFkt((m+1)/2) / GammaFkt(m/2) * 1/(1+(t^2)/m)^((m+1)/2)

daraus folgt die Whs:
P(T<=x)=1/sqrt(m*Pi) * GammaFkt((m+1)/2) / GammaFkt(m/2) * Int( dt / (1+(t^2)/m)^((m+1)/2) , -infinity...x)

Beachte noch, dass die t-verteilung symmetrisch ist, d.h. du kannst deine gesuchte Whs P(-3<=T<=3) ausrechnen durch: 2* (P(T<=3)-0.5).

Mit Maple kommt man dann Übrigens auf .992924102.

Quelle zum nachprüfen:
Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Thun, Frankfurt am Main: Harri Deutsch Verlag, 2000.

PS:Die gemeine funktionale Form der t-Verteilung ist unter anderen der Grund, warum die Tscheby-Abschätzung so toll ist!
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