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Lösung der DGL h'(t) = k*h(t) + c
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Lösung der DGL h'(t) = k*h(t) + c
 
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fish
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 18:32:50    Titel: Lösung der DGL h'(t) = k*h(t) + c

Hallo,

ich bin dabei ein Referat über die Anwendung von DGLs zu schreiben. Ich habe vor, mit einer Funktion die Abnahme von Bierschaum (selbstverständlich Karamalz um die Ergebnisse nach dem 3. Versuch nicht allzusehr zu beeinträchtigen) zu beschreiben. In einem Versuch habe ich den Bierpegel h(t) (ohne Schaum) über der Zeit gemessen und aus den Messwerten die Geschwindigkeit h'(t) abgeleitet. Wenn man dann h'(t) und h(t) in einem Graphen aufzeichnet, erkennt man, dass (mit etwas Phantasie und linearer Regression) eine Gerade herauskommt, die durch die Gleichung
Code:

h'(t) = k*h(t) + c    ->h'(t) = - 0.1522681788*h(t) + 7.235907272

beschrieben wird (Graph). c und k sind bekannt. Mein Problem ist jetzt die Lösung der DGL. Soweit ich mich an die Mathe-Vorlesungen erinnern kann, müsste das ja eine lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten sein, die ich mit Variation der Konstanten lösen kann.

Mein Ansatz war:

Code:

dh/dt = k*h(t)                          # störterm c weglassen
-> dh/(k*h(t)) = 1dt                    # variablen trennen

->1/k * int [1/h(t) dh] = int [1 dt]
->1/k * ln (h/h0) = t - t0              # bestimmte Integration (weiss nicht wie weiter)
oder
->1/k * ln(h) = t + b(t)                # unbestimmte Integration, b = b(t)
   -> h = e^[k (t+b(t))]                # nach h umstellen
   -> h' = [k + kb'(t)] * e^[k(t+b(t))] # ableiten
   -> [k + kb'(t)] * e^[k(t+b(t))] = k * e^[k (t+b(t))] + c   # in UrsprungsDGL einsetzen

Ab hier habe ich keine Ahnung wie ich b(t) bestimmen kann.
Über einen Hinweis wo der Fehler sein könnte, würde ich mich sehr freuen.

THX Fish
n-w
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 20:05:44    Titel:

Muss mich noch mal in deine Rechung reindenken.

Mein Ansatz wäre:

homogene DGL:

dh/dt = kh

dh/h=kdt -> integrieren
ln h = kt + c1 (c1 Integrationskonstante)
h = c1*exp(kt) -> homogene Lsg.

h' = c1'*exp(kt) + c1*k*exp(kt)

-> in Ausgangsgl. einsetzten

c1'*exp(kt) + c1*k*exp(kt) = c1*exp(kt)*k + C -> kürzt sich zu

c1'*exp(kt) = C

c1' = C*exp(-kt)

c1 = -C/k * exp(-kt)

=> h = c1*exp(kt) - C/k
=================

Wie du jetzt c1 bestimmst, weiß ich leider nicht.
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 20:08:46    Titel:

Zitat:
Wie du jetzt c1 bestimmst, weiß ich leider nicht.

dazu müsstest du denk ich anhand deienr messwerte ein anfangswertproblem formulieren können.
fish
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 21:54:25    Titel:

Erst mal danke fuer die beiden superschnellen Antworten Laughing

c1 muesste man doch eigentlich einfach in die hom. Gleichung h = c1*e^(kt) einsetzen koennen, oder mache ich da einen Denkfehler?

Hier ist was ich gerechnet habe:
Code:

c1 = -C/k * e^(-kt)             #wie Dein Ergebnis
h  = c1 * e^(kt)                #wo kommt bei Dir noch das (-C/k) am Ende her?


h = -C/k * e^(-kt) * e^(kt)     #c1 in h eingesetzt
h = -C/k e^(-kt+kt)
h = -C/k

Laut MuPad ist -C/k eine, und -[C-k*e^(kt - c1*k)] / k die andere Lösung, die bis auf den Exponenten ja mit Deiner identisch ist...

Code:

h = - [C - k*e^(kt - c1*k)] / k     #nach MuPad
h = - C/k + e^(kt - c1*k)           #k weggekuerzt
h = c1*e^(kt) - C/k                 #deine Lösung


hab nur keine Ahnung wie Du darauf gekommen bist.

Gruss Fish
n-w
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 22:15:17    Titel:

Ich schreib in knapp zwei Wochen eine Klausur über DGLs, gute Übung.

Gesamtlösung = y(homogen) + y(partikulär)

Also eingesetzt ja, aber homogene Lösung wird zuaddiert!

h = c1*exp(kt) ist die homogene

Dann wird das c1 als Term, d. h. c(x) betrachtet -> die partikuläre Lsg.
Die wird abgeleitet und in die ursprüngliche GL eingesetzt -> um auch dein C zu berücksichtigen.

Jedenfalls bestimme ich so mein c1, setze das wieder in y partikulär ein und erhalte

yp = -C/k * exp(-kt) * exp(kt) = -C/k

Gesamtlösung = y(homogen) + (partikulär)

-> h siehe oben
fish
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2005 - 22:51:23    Titel:

... werde mir das morgen mal in Ruhe ansehen. Mein Kopf ist fuer heute zu nichts mehr zu gebrauchen.

Falls Du noch Unterlagen ueber DGLs fuer Deine Klausur suchst, kannst Du Dir den DGL Teil aus Mathematik fuer Ingenieure von Rießinger mal ansehen. Ist finde ich sehr gut geschrieben (habe leider im Moment nicht die Zeit alles durchzuarbeiten)

http://fsfein.fb2.fh-frankfurt.de/download/klausuren/mathe/mathe3-riessinger-vorlesung-uebung/Mathe3.pdf

dazu uebungen
http://fsfein.fb2.fh-frankfurt.de/download/klausuren/mathe/mathe3-riessinger-vorlesung-uebung/Uebung.pdf

und uebungen mit ausfuehrlichen loesungen
http://fsfein.fb2.fh-frankfurt.de/download/klausuren/mathe/mathe3-riessinger-vorlesung-uebung/Loesung.pdf

Gruss Fish
n-w
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 01 Aug 2005 - 00:32:10    Titel:

Danke!

Werd ich mir nochmal anschauen.
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