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Wann bei Potenzen Beträge nötig
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Whitis
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Anmeldungsdatum: 21.04.2011
Beiträge: 140

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2016 - 20:43:51    Titel: Wann bei Potenzen Beträge nötig

Hallo!

Heute wurde mir gesagt, dass man von vornherein erkennen kann, ob bei einem Potenzausdruck die Betragsfunktion notwendig ist.
Woran man es erkennt, wurde leider nicht gesagt und das würde ich gerne von Euch wissen.

Ich kenne es bisher so, dass wenn beim Potenzausdruck eine gerade Zahl im Nenner ist/sein kann und die Basis negativ werden könnte, Beträge notwendig sind.

Bspw.
(x-2)^1/2 = x
|x-2| = x^2

Oder auch ((x-2)^(3/4))^1/3) = (|x-2|)^1/4

Durch Rückeinsetzen der x-Werte erkennt man dann, ob beide Lösungen richtig sind oder bspw. eine nicht definiert ist.

Aber es gibt wohl eine Möglichkeit, das direkt zu erkennen.

Google habe ich schon bemüht aber leider keine Antwort bekommen. Das einzige, was ich dazu gefunden hab, stammt aus Wikipedia. Dort heißt es, dass von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung vom Zähler und vom Nenner der Potenz abhängt. Wie genau steht dort aber nicht.

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen. Smile
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3028

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2016 - 02:32:20    Titel:

Also ich habe dieses Thema schon seit ein paar Tagen im Hinterkopf und möchte jetzt mal versuchen, meinen Senf dazu zu geben.

Generell gilt, dass Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind, egal, welcher Wurzelexponent. Das hat einfach Gründe. (später)

Z. B: ist die Wurzel(4) = 2 und nichts Anderes.

Die Gleichung x^2 = 4 hat wiederum zwei Lösungen. Nämlich +2 und -2.

Um an beide Lösungen zu kommen, vereinbart man

wurzel(x^2) = | x |

Man kommt natürlich schnell darauf, dass n-te wurzel(x^n) = |x| für GERADES n.

Damit hätten wir unser 1. Zwischenergebnis.

Gerader Wurzelexponent -> Betrag

Gucken wir uns zunächst mal x^3 = 8 an.

Klar, +2 ist eine Lösung, mit kriegen kein Stress mit der Definition.

Die Gleichung x^3 = -8 hat zwar eine Lösung, nämlich -2, aber

3. wurzel( -8) IST NICHT -2, weil schlichtweg negative Zahlen nicht zugelassen sind. Man könnte jetzt

3. wurzel (-8) = - 3. Wurzel(8) = -2

vereinbaren. Damit scheint das Problem gelöst.

Aber eben nicht. Vereinbart man diese Regel für negative Wurzelexponenten, dann büßt man Potenzgesetze ein.
Das darf jeder für sich entscheiden, ob man das eingehen will, oder nicht.

Und jetzt der gute Grund, warum man es nicht tun sollte.

-2 = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^1/6 = 2

-2 = 2 und das passt ja wohl nicht. Da die Potenzgesetze anfänglich für ganze Zahlen definiert und dann auf rationale Zahlen erweitert wurde, hätte man die Potenzgesetze natürlich gerne auch für die reellen Zahlen.

Man hat ja festgestellt, dass wurzel(2) nicht in Q liegt und erweitert dann auf R.

Die Potenzgesetze sollen aber weiterhin Gültigkeit haben.
Deswegen definiert man n-te Wurzeln nur für Zahlen größer gleich 0.

Eigentlich sind garnicht die Wurzeln das Problem. Das Problem sind die gebrochenen Exponenten, also etwa

(-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^1/6 = 2 aber

((-8)^(1/6))^2 funktioniert nicht, der Weg wäre aber denkbar.

Anderes Beispiel:

(-2)^(4/2) = ((-2)^4)^(1/2) = 16^(1/2) = 4

((-2)^(1/2))^4 = :(

(-2)^(4/2) = (-2)^2 = 4

Das ist einfach ein gefährliches Thema. Reden wir von Gleichungen lösen, dann setzt Du bei geradem Wurzelexponent den Betrag, sofern die andere Seite positiv ist.

Reden wir von Gleichungen, wie x^3 = -8, dann vereinbart man für die Lösung

x = - 3.wurzel(8) = -2.

Reden wir von Wurzelziehen als Solches, dann nur für positive Zahlen, unabhängig vom Wurzelexponenten.

Ein weiteres Argument ist nämlich

(-8)^(1/3) = exp( ln(-8)^(1/3) ) = exp( 1/3 * ln(-8) )

und ln(-8) ist nicht definiert.

Ich hoffe, das hat Deine Frage beantwortet, wenn auch mit einem kleinen Ausflug, um den ich aber nicht wirklich herumgekommen bin, um in der Lage zu sein das Thema ein wenig zu verstehen.
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