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Fixpunkt einer Funktion
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Susi84
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Anmeldungsdatum: 21.06.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 01 Aug 2005 - 18:17:56    Titel: Fixpunkt einer Funktion

Um nachzuweisen, dass eine Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall [a;b] einen Fixpunkt besitzt, reicht es da eigentlich aus zu zeigen , dass f(x)-x für a und b unterschiedliche Vorzeichen hat?
Kann es sein, dass die Funktion dann dennoch nicht mit dem Lipschitzkriterium konvergiert?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Aug 2005 - 18:38:24    Titel:

Zitat:
Um nachzuweisen, dass eine Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall [a;b] einen Fixpunkt besitzt, reicht es da eigentlich aus zu zeigen , dass f(x)-x für a und b unterschiedliche Vorzeichen hat?


Nö. Siehe f(x) = x+1 , falls x > 5 und x-1, falls x < 5 im Intervall [4,6]. Dann gilt f(4) - 4 = 4 - 1 - 4 = -1 und f(6) = 6 + 1 - 6 = 1. Aber f hat keinen Fixpunkt in [4,6], denn sowohl aus x-1 = x als auch aus x+1 = x folgt 1 = 0. Die Funktion f(x) - x muß stetig sein. Dann gibt es nach Zwischenwertsatz einen Nullstelle f(x)-x=0 und somit ein x mit f(x) = x.

Zitat:
Kann es sein, dass die Funktion dann dennoch nicht mit dem Lipschitzkriterium konvergiert?


Gegen was? Eine Funktion konvergiert normal nicht. Meinst Du die Folge

a_n = f(a_{n-1})?
Susi84
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Anmeldungsdatum: 21.06.2005
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 01 Aug 2005 - 19:29:38    Titel:

Dass eine Funktion einen Fixpunkt hat bedeutet doch , dass die Funktion sich mit der Geraden f(x)=x schneidet oder habe ich das falsch verstanden?

In diesem Fall ist f(x)-x=1>0 für alle x.

Somit hat diese Funktion keine Fixpunkte.



Ich meine dieses Kriterium, wonach diese Lipschitzkonstante kleiner eins sein muss und daraus dann folgt, dass die Funktion in diesem Intervall einen Fixpunkt besitzt.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Aug 2005 - 19:36:29    Titel:

Zitat:
Dass eine Funktion einen Fixpunkt hat bedeutet doch , dass die Funktion sich mit der Geraden f(x)=x schneidet oder habe ich das falsch verstanden?


Das ist, anschaulich, schon richtig. Ich finde das sogar irgendwie cool.

Zitat:
Ich meine dieses Kriterium, wonach diese Lipschitzkonstante kleiner eins sein muss und daraus dann folgt, dass die Funktion in diesem Intervall einen Fixpunkt besitzt.


Schreibe dein Kriterium bitte aus.
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2005 - 15:21:12    Titel:

ich glaub hier gehts um den anachschen fixpunktsatz.. die wikipedia-definition: http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktsatz_von_Banach ist ein wenig allgemein und bedient sich vieler folgen, wir haben den glaub ich so durchgenommen (ich zitiere meine schmierige mitschrift):

Problem: F(x)=x

Gilt in einem abgeschlossenen Intervall I=[a,b]:
1. F(x) Є I
2. |F'(x)| ≤ L < 1 //was ja die lipschitzbedingung ist, verschärft durch L<1

so existiert das Fixpunktproblem
Xn+1 = F(Xn) n=0,1,2,...

gegen den eindeutigen Fixpunkt X*:
X*=lim(n->inf) von (Xn)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2005 - 15:41:42    Titel:

Ich glaube, wir hatten diese Diskussion schon hiern

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=30064

Einfach die Ableitung geeignet abschätzen (natürlich, wenn man die berechnen kann).
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