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Umkehrfunktion berechnen von f(x)= x^3 - 12x +17
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2016 - 17:25:13    Titel: Umkehrfunktion berechnen von f(x)= x^3 - 12x +17

Hallo,

ich soll eine Umkehrfunktion zu der Funktion f(x)= x^3 - 12x +17 berechnen.

Mir ist klar, das die Funktion nicht umkehrbar ist. Es soll aber x > 2 gelten, daraus ergibt sich die Bildmenge f(x) > 1. Unter diesen Umständen ist f(x) sowohl surjektiv als auch injektiv, das habe ich mit einem Graphen gezeigt. Also ist sie in diesem Bereich auch umkehrbar.
Nur komme ich jetzt bei der Umkehrfunktion an sich nicht weiter, die soll ich nämlich jetzt berechnen.

Es wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte, schonmal danke im voraus.
Seyphedias
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Anmeldungsdatum: 21.08.2012
Beiträge: 226
Wohnort: Münster

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2016 - 17:34:24    Titel:

Hi,

zeig uns doch mal bis wohin du schon gerechnet hast.

bei der umkehrfunktion musst du ja "nur" die Gleichung
nach x umformen.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2016 - 17:36:27    Titel:

Also ehrlich gesagt, komme ich schon ziemlich früh nicht weiter:

y = x^3 - 12 x + 17
y-17 = x^3 -12x

Mir ist nicht ganz klar, wie ich jetzt x isoliere.
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5225
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2016 - 18:34:11    Titel:

Das ist auch nicht ganz trivial:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung#Algebraische_Bestimmung

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 23 Nov 2016 - 18:42:33    Titel:

Reicht es denn, wenn ich alles in die Cardano-Formel einsetze?

Also:

y = ( -(17-x)/2 ± ( (17-x)^2/4 -64 )^1/2 )^1/3

Oder kann man da noch was weiter zusammenfassen? Bzw. ich habe gerade was mit komplexen Lösungen gelesen, muss ich das auch beachten bei einer reellen Funktion, nein oder?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2016 - 18:00:20    Titel: Umkehrfunktion, Cardanische Formeln, reduzierte Form.

gnuplot>

b = -12.
c = 17.

# Hier wurden die Symbole "x" und "y" gegenüber der Aufgabestellung absichtlich vertauscht, damit anschliessend die gesuchte Umkehr-Funktion y(x) geeignet für plot entsteht.
# Das gegebene Polynom dritten Grades ist bereits in der "reduzierten Form" (kein Term 2. Grades vorhanden).

# x(y) = y³ +b·y +c → y³+b ·y +c-x = 0 → Formel für "x₃" mit a = 0 → Umkehrfunktion:

y(x) = -2.*sqrt(-b/3.) *cos(1./3.* acos (-(c-x)/2. * sqrt(-(3./b)**3.)) -pi/3.) # Vorsicht: acos() wird hier komplex

set samples 1024
set xrange [-20. :+32]
set yrange [ -5. : -2.]

plot y(x), -4.02752466284
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