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Restgliedabschätzung nach Lagrange - Verständnisproblem Xi
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th33xitus
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Anmeldungsdatum: 30.11.2016
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2016 - 15:36:14    Titel: Restgliedabschätzung nach Lagrange - Verständnisproblem Xi

Mahlzeit Leute,

Ich habe ein Anliegen.
Entweder stelle ich mich einfach zu doof an oder ich sehe inzwischen den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Jedenfalls habe ich ein Problem bei der Restgliedabschätzung von Taylorpolynomen.

Ich erkläre es mal am besten am Beispiel einer Aufgabe im Wortlaut meines Profs:

"Berechnen Sie für folgende Funktion das Taylorpolynom vom Grad 3 mit den angegebenem Entwicklungspunkt Xo "

"Welche Näherung für den Wert liefert das Taylorpolynom? Geben Sie auch eine Fehlerabschätzung"

So... das Taylorpolynom 3. Grades stellt keinerlei Schwierigkeiten dar.
Wie üblich werden die ersten drei Ableitungen gebildet und die vierte direkt mit, da ich ja zusätzlich eine Fehlerabschätzung geben soll.

Demnach ist das Taylorpolynom 3. Grades:


Die Näherung für den Wert wäre dann:


Die 4. Ableitung von ist

Bis hier hin kein Problem.
Doch nun kommt eben die Fehlerabschätzung.

Die Formel soweit ist klar. Wäre in meinem Fall:


Nun, mein Xo ist 1.
Mein X ist 1,5. ()

So weit so gut.
Doch was setze ich nun für das Xi ein?
Ist das wirklich so abstrakt oder mache ich es mir einfach nur selbst zu kompliziert? Confused


mfg Dominik
Seyphedias
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Anmeldungsdatum: 21.08.2012
Beiträge: 231
Wohnort: Münster

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2016 - 16:23:26    Titel:

Also du sollst die funktion f(x) = ln(x) um den Punkt x0 = 1 in seine Taylorreihe entwickeln.

Du hast dann das Taylorpolynom schonmal richtig hingeschrieben.

dein X0 =1 und du sollst also f(X0 + 0.5) = f(1.5) ausrechnen.

du musst jetzt nur die 1.5 für dein x aus deiner Reihe einsetzen.

Die frage ist jetzt wie groß der Fehler maximal werden kann. Du musst also

abschätzen. Dazu kannst du dein ln(x) ja in eine unendliche Taylorreihe mit entwicklungspunkt 1.5 darstellen. wie du feststellen wirst, heben sich die ersten 3 Glieder der Reihe auf. Das heißt dein Fehler kannst du durch die 4. ableitung abschätzen. wie groß kann die maximal werden?
th33xitus
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Anmeldungsdatum: 30.11.2016
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2016 - 11:41:01    Titel:

Seyphedias hat folgendes geschrieben:

du musst jetzt nur die 1.5 für dein x aus deiner Reihe einsetzen.

Genau. Und wenn ich das mache, dann kommt eben wie oben erwähnt folgendes heraus:


Seyphedias hat folgendes geschrieben:

Die frage ist jetzt wie groß der Fehler maximal werden kann. Du musst also

abschätzen. Dazu kannst du dein ln(x) ja in eine unendliche Taylorreihe mit entwicklungspunkt 1.5 darstellen.

Das wäre dann:

Wenn ich die 1,5 als Entwicklungspunkt setze, richtig?

Seyphedias hat folgendes geschrieben:

wie du feststellen wirst, heben sich die ersten 3 Glieder der Reihe auf.

Die ersten drei Glieder der Taylorreihe im Entwicklungspunkt 1,5 wären dann:

Womit heben die sich jetzt auf? Shocked
Das verstehe ich nicht so recht was du damit meinst.

Seyphedias hat folgendes geschrieben:

Das heißt dein Fehler kannst du durch die 4. ableitung abschätzen. wie groß kann die maximal werden?

Hier nochmal die 4. Ableitung:

Und genau da hapert es jetzt gerade bei mir. Es kommt ja ganz drauf an, was ich für das x nun einsetze. Dadurch bestimmt sich ja das Maximum.
Das ist auch das, was ich bei einigen Erklärungen dazu auf Youtube oder auf anderen Websites nicht verstanden habe. Die greifen alle auf einen Wert innerhalb eines bekannten/vorgeschriebenen Intervalls zurück. Ich habe aber kein Intervall, oder doch?
th33xitus
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Anmeldungsdatum: 30.11.2016
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 08:20:29    Titel:

Ist das nun so trivial und ich stelle mich zu doof an oder weiß wirklich niemand nen Rat? Confused Confused Confused
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