Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Nullstellensatz (Zwischenwertsatz), period. Funktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Nullstellensatz (Zwischenwertsatz), period. Funktion
 
Autor Nachricht
LGMath
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2016 - 23:27:29    Titel: Nullstellensatz (Zwischenwertsatz), period. Funktion

Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Und zwar habe ich eine Funktion f: R -> R, diese ist stetig und 2pi-periodisch für alle x aus R. Damit wird nun die Funktion h: R -> R definiert.

h(x) = f(x) + f(x+pi) - f(x+1/2 pi) - f(x + 3/2 pi)

Ich soll nun zeigen, dass die Funktion h im Intervall von 0 bis pi/2 eine Nullstelle besitzt.

Mein Ansatz war nun, den Nullstellensatz (Sonderform des Zwischenwertsatzes von Bolzano) zu verwenden. Demnach besitzt eine stetige Funktion min. eine Nullstelle auf einem Intervall a bis b, wenn f(a)*f(b)<0 gilt.

Die Funktion f ist stetig, somit ist auch h stetig. Nun kann ich 0 und pi/2 in h einsetzen, jetzt müsste theoretisch einer der beiden Funktionswerte positiv und der andere negativ sein, aber wie zeige ich das?

h(0) = f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi)
h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - f(2pi)

Schon mal vielen Dank im voraus.
jh8979
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2126

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2016 - 23:45:29    Titel: Re: Nullstellensatz (Zwischenwertsatz), period. Funktion

LGMath hat folgendes geschrieben:
jetzt müsste theoretisch einer der beiden Funktionswerte positiv und der andere negativ sein, aber wie zeige ich das?

Indem Du eine Eigenschaft von f benutzt, die Du bisher ignoriert hast.
LGMath
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2016 - 09:00:42    Titel:

Mir ist bewusst, dass h(0) zum Beispiel den selben Funktionswert hat wie h(2pi) nur weiß ich nicht genau wie ich das damit zeigen soll.

Wenn h(0) = f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi) und
h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - f(2pi) , dann könnte ich ja h(0) für h(2pi) einsetzen.

Dann erhalte ich
h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - ( f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi) )
= - f(0) - 2* f(pi) + 2* f(pi/2) + 2* f(3/2 pi)

Das sieht nun sehr ähnlich aus wie h(0) aber was jetzt? Sorry, ich steh grad total auf dem Schlauch.



Klicke hier, um den Artikel bei Amazon.de anzuschauen.
jh8979
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2126

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2016 - 09:04:14    Titel:

LGMath hat folgendes geschrieben:

Dann erhalte ich
h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - ( f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi) )
= - f(0) - 2* f(pi) + 2* f(pi/2) + 2* f(3/2 pi)

Keine Ahnung was Du hier gemacht hast, aber das sieht falsch aus. Vergleich doch mal Deine Ausdrücke für h(0) und h(pi/2).. vllt kommst Du dann weiter.
LGMath
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2016 - 09:14:14    Titel:

Ah, ok. Ich glaub ich habs verstanden.

h(0) = f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi)

h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - f(2pi)

f(2pi) = f(0)

also h(pi/2) = f(pi/2) + f (3/2 pi) - f(pi) - f(0)
= - (f(0) + f(pi) - f(pi/2) - f(3/2 pi))
= - (h(0))
jh8979
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2126

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2016 - 09:15:59    Titel:

*thumbs up*
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Nullstellensatz (Zwischenwertsatz), period. Funktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum