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Absolute Konvergenz (alternierende Reihe)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Absolute Konvergenz (alternierende Reihe)
 
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 19:59:42    Titel: Absolute Konvergenz (alternierende Reihe)

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich absolut nicht weiter komme. Und zwar sind zwei Reihen gegeben, diese soll ich beide auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen und anschließend im Konvergenzfall einen Index N angeben, für den die Partialsummen sn n>=N um höchstens 1/100 vom Grenzwert abweichen.

Reihe a) https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28-1%29%5E%7Bk+1%7D%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%5E%7Bk%7D%7D%29

Reihe b) https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28-1%29%5E%7Bk+1%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bk+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%7D%7D%7Bk%7D%29

Sorry für die Links, aber anders hab ich es nicht hinbekommen.

Nun hat unsere Übungsleiterin gesagt, dass wir bei alternierende Reihen immer das Leibniz-Kriterium anwenden sollen. Damit zeige ich ja aber nur Konvergenz und nicht absolute Konvergenz. Wenn ich stattdessen das Quotientenkriterium betrachte bekomme ich das Ergebnis, dass die Reihe absolut konvergiert. Nun ist mir erstens nicht 100% klar ob mein Rechenweg stimmt, dann weiß ich nicht ob ich das Quotientenkriterium hier anwenden kann und was mit dem (-1)^(k+1) passiert.

Mein Rechenweg: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%7Ca_%7Bn+1%7D%7C%7D%7B%7Ca_%7Bn%7D%7C%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7B2%5E%7Bk+1%7D%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%5E%7Bk%7D%7D%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%5E%7Bk%7D%28k+1%29%7D%7B2%5E%7Bk+1%7Dk%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%5E%7Bk%7D%28k+1%29%7D%7B2%5E%7Bk%7D2k%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28k+1%29%7D%7B2k%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bk%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%7D%7B2k%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3C1

Als nächstes habe ich versucht den Index N zu bestimmen, das bin ich aber nicht weit gekommen. Ich wollte zeigen, dass a_(k+1)<=1/100 ist, aber ich hab echt keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Meine Tutorin hat mit dann irgendwann als Tipp das hier verraten: 2^n = (1+1)^n >= (n(n-1))/2
Wie man dadrauf kommt und wie ich damit weiter abschätze konnte sie mir nicht sagen.

Und bei der b habe ich noch nicht mal einen Ansatz Sad

Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 20:30:28    Titel:

Bevor ich konkret etwas zu den Aufgaben sage, etwas generelles.

Ja, alternierende Reihen schreit nach Leibniz-Kriterium.

Hast Du eine alternierende Reihe und willst auf "absolute" Konvergenz untersuchen, kannst Du das Vorzeichen vergessen. Die a_n stehen ja im Betrag.

Okay, Du hast bei der a) schon mal die absolute Konvergenz nachgewiesen.
Hast Du die alterierende auch?

Im Konvergenzfall sollst Du einen Index angeben. Dazu brauchst Du erstmal den Grenzwert. Ist Dir klar, was Du eigentlich genau zeigen sollst?

Wenn S_n die Partialsumme ist, dann sollst Du n so bestimmen, dass

| S_n - Grenzwert | <= Toleranzangabe

gilt.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 20:38:27    Titel:

Danke schonmal für die Antwort.

Bei alternierenden Folgen sollte ich vorher noch die absolute Konvergenz zeigen, deshalb bin ich da ein wenig hilflos was die Herangehensweise angeht. Ich habe zuvor versucht, die Konvergenz von a_n mit dem Leibniskriterium zu zeigen, hat auch geklappt, nur war mir dann nicht ganz klar, wie ich dass mit der absoluten Konvergenz handhaben soll, deshalb hab ich es dann anders gezeigt.

Also wenn ich das richtig verstanden habe, ist mein a_n nur k/2^k. (-1)^(k+1) ist nicht Teil von a_n. So hat das zumindestens unsere Übungsleiterin erklärt.

Nun kann ich für a_n problemlos die absolute Konv. nachweisen, ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich da (-1)^(k+1) einbeziehe. Unsere Tutorin meinte, das kann man ignorieren, aber das kommt mir komisch vor.

Was den Index angeht, haben wir eine 'ähnliche' Aufgabe in der Übung gerechnet, da haben wir einfach nur a_(n+1) betrachtet, das soll ja größer sein als | S_n - Grenzwert |. Also müssen wir nur zeigen, dass a_(n+1) <= 1/100 ist. Meine Tutorin meinte, das geht nur durch abschätzen, aber wie?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 20:41:12    Titel:

Für die absolute Konvergenz kann man das "ignorieren", richtig. Ist Dir klar, was "absolut konvergent" bedeutet. Dort findest Du die Antwort.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 20:43:51    Titel:

Ich weiß nur, dass laut Definition eine Reihe absolut konvergent heißt, wenn die reelle Reihe mit dem Betrags von a_n konvergiert.

Was das anschaulich bedeutet weiß ich nicht so ganz.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 20:46:06    Titel:

Aha, da haben wir es ja. Wenn die Reihe der Beträge konvergiert.

Was ist denn für

a_n = (-1)^k * blabla

der Betrag?
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 21:28:15    Titel:

Dann ist der Betrag ja nur blabla
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 00:53:39    Titel:

Genau.
Und das meint Deine Tutorin mit "ignorieren".
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 08:04:20    Titel:

Alles klar, und wie schätze ich nun den Index N ab?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 11:42:20    Titel:

Hast Du den Grenzwert?
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