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Reihe auf Konvergenz/Divergenz untersuchen
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 21:08:39    Titel: Reihe auf Konvergenz/Divergenz untersuchen

Hallo zusammen,

ich habe folgende Reihe gegeben:

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Csum_%7Bk%3D3%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B8k%7D%7B%28k%5E%7B2%7D-1%29%5E%7B2%7D%7D%29

Als erstes sollte ich zeigen, dass diese Beziehung gilt:
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4k%7D%7B%28k%5E%7B2%7D-1%29%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28k-1%29%5E%7B2%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%28k+1%29%5E%7B2%7D%7D

Das habe ich auch gemacht.

Nun soll ich die Reihe auf Konvergenz oder Divergenz untersuchen. Leider weiß ich nicht, wie ich das machen soll. Ich habe zum Beispiel das Quotientenkrit. versucht, bin dabei aber in eine Sackgasse geraten. Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 21:37:19    Titel:

Quotientenkriterium führt hier leider nicht ans Ziel.

Du könntest Dir eine Majorante/Minorante überlegen.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 22:57:20    Titel:

Ich habe eben als Minorate überlegt cn = 2/k^2 - 2/k^2, aber dann kommt null raus. Und für eine Majorante habe ich im Moment auch keine zielführende Idee.

Mit dem Majorantenkritierium habe ich bisher aber auch noch nicht viel gerechnet, daher habe ich da wenig Erfahrung im geeignete Majoranten/Minoraten finden.

Könnte ich vielleicht einen Tipp bekommen?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 02:01:01    Titel:

1. Hinweis:

Entweder Du findest eine divergierende Minorante und die ursprüngliche Reihe divergiert oder Du findest eine konvergierende Majorante und die ursprüngliche Reihe konvergiert. Beides kannst Du nicht finden.

2. Hinweis:

Suche eine Majorante. (die Reihe konvergiert nämlich)
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 09:32:38    Titel:

Also ich bin gerade auf der Suche nach eine Majorante. Ich habe jetzt mal versucht bei der Form 2/(k-1)^2 - 2/(k+1)^2 anzufangen, ich sollte ja wahrscheinlich nicht ohne Grund vorher zeigen, dass die Beziehung gilt.
Ich muss da ja den ersten Term größer machen und den zweiten kleiner.

Um den zweiten kleiner zu machen habe ich mir überlegt 2/(k+k)^2 zu wählen, dann habe ich nach dem Kürzen 1/k^2 dastehen und da weiß ich, dass es konvergiert. Bei dem ersten Term habe ich überlegt einfach das ^2 im Nenner wegzulassen, aber das hat mich auch nicht weitergebracht.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 14:49:58    Titel:

Eine Majorante kannst Du z. B. auch so finden.



Nun machen wir den Nenner kleiner und finden



Und was weißt Du über diese Reihe? Sicherlich, dass sie konvergiert. Majorante gefunden.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 20:04:12    Titel:

Vielen Dank!
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