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Absolute Konvergenz mit Majorantenkriterium zeigen
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 21:20:13    Titel: Absolute Konvergenz mit Majorantenkriterium zeigen

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht mehr weiterkomme. Und zwar ist folgende Reihe gegeben:
https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bcos%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7Dk%29%7D%7Bk%5E%7B2%7D%7D%29

Nun soll ich erstens zeigen, dass die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut konvergiert. Ich habe jetzt also den Betrag vom cos(...) genommen, der Betrag muss bei absoluter Konvergenz ebenfalls konvergent sein. Nun pendelt der Betrag vom cos(...) immer zwischen 0 und 1. Ich habe mir also überlegt, als mein größeres b_k = 1/k^2 zu wählen. Das ist dann eine harmonische Reihe mit a>1, damit ist die Reihe absolut konvergent.

Nun ist meine erste Frage, ob das stimmt.

Zweitens gibt es auch noch einen Aufgabenteil b. Und zwar soll ich erklären, wieso sich das Quotientenkriterium hier nicht weiter anwenden lässt und anschießend die Reihe so umschreiben, dass ich es dennoch anwenden kann und dann damit auch noch die absolute Konvergenz zeigen.

Bei der Aufgabe habe ich nun überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

Wäre super wenn mit jemand helfen könnte, schonmal Danke im voraus.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 21:33:29    Titel:

Dein Argumentation stimmt soweit.

Warum das mit dem Quot. Kriterium nicht klappt?
Probier es doch mal und gucke, wo es scheitert. Beachte dabei auch, dass Du mehrere Fälle betrachten musst. (du könntest ja evtl durch 0 teilen...)

Man kann es dennoch machen, das ist richtig.
Guck mir cos( pi/2 *k) für ein paar k an.
Was fällt Dir auf?

Du findest eine alternierende Reihe.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2016 - 22:39:51    Titel:

Achso, falls k zum Beispiel gleich 1 ist, ist der cos(pi/2)=0, damit würde man durch 0 teilen, also geht das nicht.

Bei geraden k ist cos(..) aber immer 1 bzw. -1, dehalb könnte ich gerade und ungerade k unterscheiden. Für gerade k kann ich dann ganz normal das Quotientenkriterium anwenden? Und bei k ungerade handelt es sich dann um eine Reihe, die gegen 0 konvergiert?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 01:59:27    Titel:

Ja, das geht in die Richtung mit den wechselnden Vorzeichen.
Führe den Gedanken mal sauber zu Ende.

Was hälst Du von



kannst Du schreiben unter Beachtung von cos(...) = 0 für gewisse k, zu



?
Jetzt hast Du eine alternierende Reihe, die Du untersuchen kannst.
(hoffe, ich habe mich jetzt auf die Schnelle nicht vertan)
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 09:11:43    Titel:

Die zweite Reihe, die du da aufgeschrieben hast ist also was ich mit den gerade k gemeint habe, weil es da immer zwischen 1 und -1 wechselt? Und 2k weil es eben für die geraden k gilt?

Bei dieser Reihe zeige ich jetzt also mit dem Quotientenkriterium, dass die Reihe absolut konvergiert. Sehe ich das aber nicht sofort? Sieht aus wie eine harmonsiche Reihe.

Und was mache ich mit den Nullen? Lasse ich die einfach weg, weil bei der Reihe ja nur 0+0+0+.. addiert wird?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 12:44:03    Titel:

Guck Dir meine Reihe nochmal an. Die Nullen sind in meiner Reihe nicht mehr da. Für kein k ist irgendein Reihenglied 0.

Schau mal bitte ganz genau, was ich da gemacht habe.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2016 - 20:02:22    Titel:

Ich glaube ich habe das schon verstanden, in deiner Reihe sind nur noch 1 oder -1. 0 fällt weg, weil eben nur die geraden k betrachtet werden. Meine Frage war, ob ich noch eine zweite Reihe (für die Vollständigkeit) für die ungerade k brauche oder ob ich die weglassen kann weil ja sowieso nur Nullen addiert werden, damit ist das Ergebnis ja 0. Wenn ich also die ursprüngliche Reihe als Reihe (gerade k) + Reihe (ungerade k) schreibe, fällt die Reihe für die ungeraden k eben weg, weil nur 0 dazuaddiert wird.

Mir geht es nur dadrum, wenn ich die Reihe umschreiben soll, dass ich dann nicht einfach die ungeraden k weglasse ohne es begründen zu können.

Habe ich das richtig verstanden?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3052

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2016 - 00:27:17    Titel:

Deine "Sorgen" verstehe ich.
Guck Dir mal meinen Nenner an. Im Nenner steht "2k".
Da findest Du die Antwort.
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