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Körperautomorphismus von Q
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hada2000
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 00:09:44    Titel:

Also ich denke mal dass dann z.B x auf x abgebildet wird oder?
Also phi(x + y) = x + y = phi(x) + phi(y)

und phi(x*y) = x * y = phi(x) * phi(y)

richtig oder falsch?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 00:13:21    Titel:

Irgendwie unglücklich ausgedrückt.

phi(x + y) = x + y
phi(x*y) = x * y

Das reicht schon. Genau das müssen wir nachweisen.

Wie könnte man das machen?

Tip: Zeige phi(0) = 0 und phi(1) = 1.
Was bringt das?
hada2000
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 00:25:00    Titel:

Danke für deine Hilfe! Very Happy

Also ich würde das folgendermaßen machen:
Sei x element IQ.
1. Dann ist phi(x) = phi(x + 0) = phi(x) + phi(0)
Daraus folgt dass phi(0) = 0.

2. Dann ist phi(x) = phi(x * 1) = phi(x) * phi(1)
=> phi(1) = 1.

Somit wurde gezeigt, dass jedes Element aus IQ auf sich selbst abgebildet wird. Und weil das Ganze ja bijektiv ist muss dann auch zum beispiel 2 auf 2 abgebildet werden und 3 auf 3 usw.

Einigermaßen korrekt?

und was ist wenn x/y element IQ muss man da auch noch was zeigen?#
Das müsste doch in der obigen Überlegung schon mit eingeschlossen sein oder täusche ich mich da?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 00:30:09    Titel:

Mit phi(0)=0 und phi(1)=1 wurde erstmal garnichts gezeigt.

Die beiden Rechnungen passen, ich bin grad am Überlegen, ob man das zweite "sauberer" machen kann, aber das passt erstmal.

Mit Hilfe dieser beiden Werte zeige, dass

phi(n) = n für n aus N gilt.
Erweitere den Gedanken auf Z.
Erweitere den Gedanken schließlich auf Q.
hada2000
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 00:50:36    Titel:

okay. Dann hätte ich folgende Idee:

1. Sei a element IZ.
0 = phi(0) = phi(a + a^-1) = phi(a) + phi(a^-1)
-> phi(a^-1) = (phi(a))^-1

2. Sei x/y element IQ
1 = phi(1) = phi(x/y * (x/y)^-1) = phi(x/y) * phi((x/y)^-1)
-> phi((x/y)^-1) = (phi(x/y))^-1



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Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 03:48:49    Titel:

Beim 1. ist ein kleiner Fehler. Du meinst es richtig, vergisst aber Dein Ziel. Beachte, dass man das inverse bzgl. Addition gewöhnlich mit -a bezeichnet.

0 = phi(0) = phi(a + (-a)) = phi(a) + phi(-a)
=> phi(-a) = -(phi(a)) = -a (wir WOLLEN ja ID zeigen)

Davor muss aber gezeigt werden, dass Du auf n aus N überträgst, ehe Du auf Z gehst.

Und beim 2. ähnlich.
Wir wollen ja id zeigen, also

phi(x/y) = x/y.

Bei Dir müsste

phi((x/y)^-1) = (x/y)^-1

gezeigt werden, okay?
Das

phi((x/y)^-1) = (phi(x/y))^-1

id kommt hier nicht zur Geltung, richtig?
hada2000
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 15:15:55    Titel:

Mir fällt ehrlich gesagt nichts ein wie ich phi(n) = n zeigen kann..
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 15:24:57    Titel:

Fang doch mit phi(2) an. Dann siehst Du es irgendwann.
hada2000
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 16:11:59    Titel:

Okay also ich denke man muss induktiv am besten vorgehen oder?

zu zeigen phi(n) = n , n element IN

IA: phi(1) = 1
IV: Es gibt ein n element IN, sodass phi(n) = n
IS: n -> n + 1
phi(n + 1) = phi(n) + phi(1) = phi(n) + 1
mit IV folgt phi(n + 1) = n + 1

Dann also die Erweiterung auf IZ:

Sei x element IZ.

Dann ist 0 = phi(0) = phi(x + (-x)) = phi(x) + phi(-x)
-> phi(-x) = -x

Und schließlich die Erweiterung auf IQ:
Seien x, y element IZ.

x = phi(x) = phi(x * 1) = phi(x * y/y) = phi(x/y * y) = phi(x/y) *phi(y)
= phi(x/y) * y
->phi(x/y) = x/y

Stimmt das jetzt so?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2997

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2017 - 02:41:22    Titel:

Jop!
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