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Stammfunktion bestimmen
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2017 - 19:32:16    Titel: Stammfunktion bestimmen

Hallo Leute, ich habe soll hier einige Stammfunktionen bestimmen, hat auch soweit geklappt nur an einer bin ich gerade am verzweifeln.

Und zwar ist meine Funktion f(x)= (x*e^arctan(x)) / (1+x^2)^(3/2)

Ich habe als erstes die Funktion auseinandergezogen um partielle Integration anzuwenden. Also der erste Teil, der später abgeleitet wird ist bei mir:
x / (1+x^2)^(1/2), der zweite Teil, der später aufgeleitet wird ist bei mir:
e^arctan(x) / (1+x^2).

Wenn ich jetzt mit partieller Integration weitermache, bekomme ich:

x / (1+x^2)^(1/2) * e^arctan(x) - int( 1/(1+x^2)^(3/2) * e^arctan(x) )

Als nächstes habe ich nochmal partiell integriert, dann habe ich:

x / (1+x^2)^(1/2) * e^arctan(x) - [ x / (1+x^2)^(1/2) * e^arctan(x) - int(f(x)) ]

An für sich sieht das ja schonmal nicht schlecht aus, nur habe ich das Problem, dass ich ein + vor dem Integral auf der rechten Seite stehen habe, wenn ich es also auf die linke Seite bringen will muss ich es abziehen und da erhalte ich 0.

Laut einem Online-Integralrechner (keine Ahnung wie zuverlässig) ist die richtige Lösung:

(x-1)*e^arctan(x) / 2*(1+x^2)^(1/2)

Da bedeutet ja, wenn ich bei meinem ersten Bruch in der eckigen Klammer im Zähler eine 1 hätte anstatt einem x und vor dem Integral im letzten Schritt ein + anstatt einem - wäre hätte ich die richtige Lösung.

Vielleicht kann mir jemand helfen den Fehler zu finden.

Ich verstehte auch noch nicht so ganz, wieso die Stammfunktion von
1/(1+x^2)^(3/2), x / (1+x^2)^(1/2) ist. Ich hatte mir überlegt, dass die Stammfunktion -1/x * (1+x^2)^(-1/2) ist, aber der Online-Integralrechner und Maple haben mir die andere Lösung gegeben. Mit meiner Stammfunktion bin ich aber auch nicht weitergekommen, deshalb hab ich erstmal auf Maple vertraut.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2017 - 20:20:39    Titel:

Hi,

1.) das Wort "aufleiten" mag es vielleicht geben, aber nicht in der Mathematik. Es heißt "integrieren".

2.) das x im Zähler bei der Stammfunktion in Deinem Post ganz unten kommt von der Kettenregel. Versuch's mal.
Man sieht es, wenn man 1+x^2 substituiert.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 40

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2017 - 20:22:17    Titel:

Wo soll ich 1+x^2 substituieren, direkt am Anfang schon?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2017 - 20:34:14    Titel:

Du willst ja eine

1/(1+x^2)^(3/2)

integrieren.

Damit man das x im Zähler nachvollziehen kann, kannst Du in einer Nebenrechnung substituieren.
So war das gemeint.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2017 - 16:43:28    Titel: Substitution

Guten Tag
Zwecks Verifikation hab ich es auch mal versucht.
Als eine Vorbereitung kann geprüft werden, dass .
Zudem werden hier die beiden trigonometrischen Identitäten und verwendet.
Die Substituion ergibt und . Aus den beiden zuvor erwähnten Identitäten wird und .

Mit dieser Substituion kann das gegebene Integral nach umgeformt werden, wobei mit gekürzt wurde.
Mit Hilfe der zu Beginn erwähnten Vorbereitung folgt .
Die Rücksubstitution liefert .
SarahKib
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Anmeldungsdatum: 03.02.2017
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2017 - 05:20:41    Titel: Mathe verbessern

Hallo, ich bin zwar erst in der 10. Klasse, aber ich kenne einen Nachhilfelehrer aus Hannover, der mir in Mathe sehr geholfen hat.

Ich stand auch oft vor schwierigen Aufgaben alleine da und durch die Nachhilfe mit ihm verstehe ich Mathe jetzt viel besser. Hier ist seine Homepage: Nachhilfe Mathe Hannover. Er macht auch Online-Nachhilfe. Wenn ich hier sehe, was mich in Mathe noch erwartet, wirds mir gruselig Sad

Liebe Grüße
Sarah
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2017 - 21:57:33    Titel:

@LGMath
Hast du es nachvollziehen können?
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2017 - 22:31:56    Titel: Re: Mathe verbessern

SarahKib hat folgendes geschrieben:
Wenn ich hier sehe, was mich in Mathe noch erwartet, wirds mir gruselig Sad

Liebe Grüße
Sarah


Das würde der Nachhilfelehrer, falls ein derartiges Integral in der jeweiligen Oberstufe überhaupt auftaucht, kleinschrittiger und übersichtlicher erklären. Dann sieht es nicht mehr annähernd so gruselig aus. Aber zugegeben, der Umgang mit solchen Integralen muss erst einmal gelernt werden.
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