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Vollständige Induktion
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Gsiberger
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Anmeldungsdatum: 23.05.2009
Beiträge: 94

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2017 - 21:39:38    Titel: Vollständige Induktion

Hallo, ich hätte eine Frage zur Vollständigen Induktion (ich hoffe, dass ich den Sachverhalt richtig und verständlich beschreibe).

Bei der Vollständigen Induktion geht es ja darum zu beweisen, dass ein bewiesener Satz auch für alle nachfolgenden Zahlen gilt.
Beispiel: Die gerade Zahl 2 ist durch 2 ohne Rest teilbar, dann sind auch alle nachfolgenden geraden Zahlen durch 2 und ohne Rest teilbar.

Beim Induktionsschritt taucht nun immer dieses +1 auf - man macht damit den Sprung zur nächsten Zahl um an dieser den Beweis zu erbringen.

Meine Frage bezieht sich nun auf dieses "+1".
Ist damit die nächst höhere natürliche Zahl gemeint, oder die nächste Zahl in der zu untersuchenden Zahlenfolge?
Beispiel: Sind die geraden Zahlen wie oben beschrieben zu untersuchen, so wäre dies die Zahlenfolge 2, 4, 6,........, n - also immer die geraden Zahlen, beginnend bei 2.
Ist nun mit dem +1 im Induktionsschritt die nächste natürliche Zahl gemeint (also ab dem Induktionsanfang betrachtet 2 +1 = 3)
- oder -
ist mit diesem +1 die nächste Zahl in der zu untersuchenden Zahlenfolge gemeint, also beim Beispiel 2 "+1" als Hinweise dass man in der Zahlenfolge um eines weiter gehen soll - man springt also von 2 auf die 4.

Ich hoffe meine Frage ist verständlich formuliert.

Gruß Gsb
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8094
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2017 - 22:58:38    Titel:

Wenn du n+1 schreibst, dann ist damit der Nachfolger von n in der Menge der natürlichen Zahlen gemeint und nichts anderes. Und der Nachfolger von 1 ist 2. Der Nachfolger von 2 ist 3 usw.

Wenn du eine Induktion in einer Menge machen willst, die anders gebaut ist, also z. B. über alle geraden Zahlen, dann hast du zwei Möglichkeiten:

1.) Du führst den Induktionsschritt von n auf n+2 durch. Also für dein Beispiel:
Ind.-Vor.: 2|n
Ind.Schr.: 2|n --> Es gibt ein k mit n=2k --> n+2=2k+2=2*(k+1) --> 2|n+2
Ind.-Anf: 2|2
Damit folgt: 2 teilt 2, 4, 6, ... (alle geraden Zahlen)

2.) Du führst die zu betrachtende Menge auf eine Menge zurück, in der du mit Einser-Schritten vorgehen kannst:
Sei , also die Menge aller geraden Zahlen.
Ind.-Vor.:
Ind.-Schr.:
Ind.-Anf:
Damit folgt: 2 teilt alle Elemente aus G, also alle geraden Zahlen.

Der zweite Weg erscheint etwas gekünstelt, aber er ist für den Mathematiker eleganter, weil er mit Einserschritten in der Menge G auskommt. Denn das Induktionsaxiom kennt nur Einserschritte.

Der erste Schritt ist anschaulicher, aber in ihn geht unabgesprochen ein, dass man auch mit Zweierschritten eine Induktion machen kann. Aber dass das geht, weiß man erst, wenn man bewiesen hat, dass das möglich ist - und üblicherweise wird dies im Schulunterricht einfach unterschlagen.

Gruß
mike
Gsiberger
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Anmeldungsdatum: 23.05.2009
Beiträge: 94

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2017 - 18:23:04    Titel:

Danke für die umfassende Antwort!!

Gruß Gsibie
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