Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Algebraische Zahlen, Satz vom Nullprodukt
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Algebraische Zahlen, Satz vom Nullprodukt
 
Autor Nachricht
Deniz
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2017 - 21:54:42    Titel: Algebraische Zahlen, Satz vom Nullprodukt

Hi,

ich habe ein kleines Problem.

Gegeben seien a, b aus A (Algebraische Zahlen) mit a*b = 0.
Zeige: a = 0 oder b = 0

Hm. Ich habe lediglich die Def. von "algebraisch" zur Hand, also

a algebraisch: es gibt ein Polynom p(x) mit rat. Koeffizienten, so dass p(a) = 0 gilt.

Das Einzige, was wir hierzu bewiesen haben ist:

a, b aus A, dann gilt genau einer der drei Fälle:

a = b oder a < b oder a > b.

Ich habe mir überlegt, ob mir das etwas bringen könnte, komme aber auf keinen grünen Zweig.

Im Beweis haben wir Polynome verwendet, die mittels Taylorentwicklung geschickt umgeformt, um dann entsprechend zu argumentieren.

Das war in etwa so: a, b aus A => es gibt g und h mit g(a) = h(b) = 0.

Betrachte f = g*h und entwickle f(x) um a.

Blabla.

Was meint Ihr? Sollte ich so ähnlich vorgehen? Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich die Aussage für den "Spezialfall a*b = 0" verwenden kann.
jh8979
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2187

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2017 - 22:45:22    Titel:

Ich versteh ehrlich gesagt das Problem nicht ganz. Algebraische Zahlen sind einer Teilmenge der reellen (oder komplexen) Zahlen und die Aussage folgt sofort aus den Körperaxiomen...

Ich vermute mal, dass Dein Problem komplizierter ist.
Deniz
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2017 - 00:49:56    Titel:

Hi,

ja, in der Tat ist es ein wenig verzwickter, denn die Frage ist ja "eigentlich" leicht zu beantworten.

Wir haben N, Z, Q, R konstruktiv definiert. Wir vermeiden sogar "negative" Definitionen, wie "x ist reell, wenn es nicht rational ist".

Ich darf auch für Transzendenz einen "positive" Definition finden, die ich zum Glück schon habe. Very Happy

Die Aufgabe ist es in der Tat lediglich mit Polynomen zu hantieren.
Ist wahrscheinlich auch gar nicht zu leicht zu helfen, weil nicht wirklich bekannt ist, was wir definiert haben. Crying or Very sad

Und das würde ja hier den Rahmen sprengen.
Deniz
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2017 - 14:42:40    Titel:

Für Interessierte:

Der Beweis läuft über Ausschluss mit dem oben genannten Lemma.
M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8164
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2017 - 15:07:25    Titel:

Ich nehme mal an, es geht hier um eine Vorlesung zum "Aufbau des Zahlensystems" o. ä.

Da definiert man sich die üblichen Zahlenmengen rein konstruktivistisch:

Also erstmal die Natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome. Dann die Verknüpfungen Addition und Multiplikation auf dieser Menge mit Hilfe geschickter Wiederholung der Nachfolger-Relation.

Dann die Ganzen Zahlen mit Hilfe einer wie auch immer gearteten Umkehrung der Addition. Das liefert nebenbei gleich eine Subtraktion. Und dann zeigt man die Ringeigenschaft.

Schließlich die Rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren (z,n) mit n≠0 und der Äquivalenzrelation (z1,n1)~(z2,n2) gdw. z1*n2=z2*n1. Für die braucht man auch eine Addition und eine Multiplikation und definiert die über beliebige Repräsentanten der Äquivalenzklassen, z. B. als (z1,n1)+(z2,n2):=(z1*n2+z2*n1,n1*n2). Da zeigt man dann dass es sich um einen Körper handelt.

Und dann kommen die die Algebraischen Zahlen.

Ist das sowas?
Deniz
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2017 - 16:47:07    Titel:

Ja, es ist eine Vorlesung zur konstruktiven Logik, hier heißt sie einfach nur "Logik" und meint "Logik der Mathematik".

Wir haben zunächst induktiv die natürlichen Zahlen erklärt, dann die ganzen Zahlen.

Die rationalen Zahlen aber nicht als Äquivalenzrelation, sondern mittels Folgen.

Die reellen Zahlen schießlich über Folgen. Interessant ist auch, dass wir "Ungleichheit" "positiv" definieren, in dem wir sagen:

"a und b sind ungleich" :<=> "a ist nah an b", formal | a - b | > 0

Das ist ziemlich spannend, weil wir Negationen vermeiden wollen.

Transzendenz wird ja "klassisch" definiert mit "nicht algebraisch", wobei algebraisch heißt: Es gibt ein Polynom blabla.

Die "positive" Definition von Transzendenz lautet:

t transzendent :<=> für alle algebraischen a gilt, a ist nah an t, also |a - t | > 0.

Man muss da total aufpassen, was man verwenden darf und was nicht. Bin da schon in Fallen getappt. Very Happy

In einer Übungsaufgabe habe ich Q Teilmenge von IR verwendet und wurde mir angestrichen, weil wir "element in R" über Folgen definiert haben.

Ich denke, ich werde mich noch ein paar mal melden. Very Happy
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Algebraische Zahlen, Satz vom Nullprodukt
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum