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Vollständige Induktion
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melli-gruber
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Anmeldungsdatum: 01.11.2017
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2017 - 23:14:00    Titel: Vollständige Induktion

Fur ¨ n ∈ N sei S(n) die Summe der ersten n naturlichen Zahlen, d. h. ¨ S(n) = 1+2+. . .+n.
a) Berechnen Sie S(n) + S(n + 1) fur mindestens drei verschiedene ¨ n ∈ N.
b) Formulieren Sie eine Vermutung uber das Ergebnis dieser Summe, indem Sie folgen- ¨
den Satz vervollst¨andigen: Fur alle ¨ n ∈ N gilt S(n) + S(n + 1) = . . ..
c) Beweisen Sie Ihre Vermutung aus b).
d) Zeigen Sie: Fur alle ¨ n ∈ N gilt
S(n) = n^2 − (n − 1)^2 + (n − 2)^2 − . . .(−1)n−1· 1^2 =SummenzeichenXnk=1(−1)n−k· k2.
(Falls Sie keinen direkten Ansatz fur den Beweis haben, bietet es sich auch hier an ¨
die Formel zun¨achst fur einige ¨ n ∈ N zu uberpr ¨ ufen).

die a habe ich und bei der b habe ich S(n)+S(n+1)=(n+1)^2

bei der c und der d habe ich leider keine Ahnugn was ich machen soll also bei der c weiß ich vollständige induktion aber weiß nicht wie ich das hier anwenden soll

Danke schonmal für eure Hilfe.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8133
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2017 - 08:51:58    Titel:

Deine Vermutung aus b) klingt ja ganz erfolgversprechend.
Die musst du jetzt in c) nur beweisen.
Also die Behauptung:

Das ist gar nicht so schwer zu beweisen. Aber du solltest es noch etwas umformen. Denn das darin ist ja wenig aussagefähig. Aber sicher kennst du eine Formel, die griffig beschreibt. .

Setze die rechte Seite davon doch einfach mal für und für in die Behauptung ein.

Gruß
mike
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3106

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2017 - 08:57:11    Titel:

Du vermutest nun:

S(n) + S(n+1) = (n+1)^2.

Indunktionsanfang: klar

Induktionsannahme: Gelte nun für ein festes n obige Behauptung.

Indunktionsschritt: n -> n +1

Betrachte

S(n+1) + S(n+2)

Das müssen wir jetzt ein wenig mit der Def. von S(n) umformen.

Wir wollen ja die Ind. Vor. verwenden.

Hast Du eine Idee? Smile

Für die d) genauso.

Induktionsanfang:
Wir überprüfen den Fall n = 1. blablabla passt

Induktionsannahme:
Gelte also S(n) = Summe (-1)^(n-k) k^2

Indutionsschritt: n -> n+1

Betrachte S(n+1)

Forme mittels Def. von S(n) S(n+1) so um, dass Du die Summe für S(n) einsetzen kannst. Nach einer simplen Rechnerei solltest Du dann die Summe von k bis n+1 dastehen haben.

Viel Erfolg!

Mike war schneller hier. Smile
Vielleicht helfen Dir meine kleinen Tipps, um dann selbst voran zu kommen.
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