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Untervektorräume
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melli-gruber
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Anmeldungsdatum: 01.11.2017
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2017 - 23:20:59    Titel: Untervektorräume

Gegeben seien ai,j ∈ R und bi ∈ R für i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n. Wir
betrachten das folgende lineare Gleichungssystem im R
n
:
a1,1x1 + . . . + a1,nxn = b1,
.
.
.
am,1x1 + . . . + am,nxn = bm.
a) Zeigen Sie, dass im homogenen Fall (das heißt, es gilt b1 = . . . = bm = 0) die
Lösungsmenge L des Gleichungssystems ein Untervektorraum des R
n
ist. Müssen
Sie dabei L berechnen, um dies zu entscheiden?
b) Ist die Lösungsmenge L des Gleichungssystems auch dann ein Untervektorraum
des R
n
, wenn das lineare Gleichungssystem inhomogen ist (das heißt, dass es ein
i ∈ {1, . . . , m} mit bi 6= 0 gibt)?

Ich weiß bei der a dass die Menge nicht leer sein darf und + sowie die Multiplikation abgeschlossen ist. Die Menge ist nicht leer, weil der Nullvektor drin liegt aber woher weiß ich dass er drin liegt.
Und bei den anderen habe ich gar keinen Ansatz erst:(
Deniz
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3081

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2017 - 08:58:59    Titel:

Im homogenen Fall ist doch x = (x1, ..., xn) = (0, ..., 0) eine Lösung oder? Smile

Damit einen Ansatz bekommt musst Du Dich mit den Def. vertraut machen.

Was heißt es für x, damit x in L liegt?

Was heißt es für L, damit L ein UVR ist? -> nachrechnen
M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
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Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8117
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2017 - 09:17:43    Titel:

Das ist so in deiner ASCII-Schreibweise ausgesprochen schwer zu lesen. Da ist es besser, dafür LaTeX zu verwenden.

In a) sollst du also zeigen, dass die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist.
Da musst du einfach nachweisen, dass die Lösungsmenge die Eigenschaften hat, die ein Untervektorraum besitzen muss.
Die hast du ja schon genannt:
1) Der Nullvektor muss darin enthalten sein
2) Er muss multiplikativ und additiv abgeschlossen sein.

Ob der Nullvektor zur Lösungsmenge gehört, kannst du einfach durch Einsetzen prüfen.
Und die Abgeschlossenheit überprüfst du, indem du von zwei Vektoren und annimmst, dass sie zur Lösungsmenge gehören. Also, dass ist. Analog für .

Und dann schaust du mal, ob und auch den Nullvektor liefern.

Zu b) kommen wir dann später.

Gruß
mike

P. S.: deniz war schneller und hat schon geantwortet, während ich noch mit LaTeX herumbastelte.
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