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LGS-Aufgabe mit drei Variablen
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schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1263
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BeitragVerfasst am: 25 März 2018 - 15:41:23    Titel: LGS-Aufgabe mit drei Variablen

Ich bräuchte mal eine Ergebnisüberprüfung zu folgender Aufgabe, Danke im voraus.

Zur Zubereitung eines Fruchtsaftgetränks werden drei Grundsorten A,B,C benötigt. Der Fruchtanteil von A betrage 30%, der von B 40% und der von C 60%. Durch Mischung soll 1 Liter Fruchtsaft entstehen, dessen Fruchtanteil 50% betrage.
a) Gib Anteile von A,B,C bei einer möglichen Mischung an.
b) Wieviel muss von der Sorte C mindestens und wieviel kann höchstens genommen werden, wenn alle drei Sorten an der Mischung beteiligt sein sollen?


Lösung:

a) Mit den drei Grundsorten A, B, C stelle ich folgendes LGS auf:

A +B +C = 1 | *(-3)
30A +40B +60C = 50 | :10

1. Zeile auf 2. Zeile addiert ergibt:

A +B +C = 1
B +3C = 2

Die Lösungsmenge ist L={(A;B;C) | A = 2C -1 ; B = 2 -3C }

Anteile der Grundsorten in Litern einer möglichen Mischung sind A=1/5 , B=1/5 , C=3/5.
Man kann hier schon erkennen dass viele Möglichkeiten zu Widersprüchen führen; z.B. ergibt C=1/5 Liter für A= -3/5 Liter, negative Volumina sind hier aber sinnbefreit. Das führt zur zweitern Teilaufgabe

b) Wenn alle drei Sorten an der Mischung beteiligt sein sollen, müssen die Anteile von A,B,C jeweils größer Null sein. Dann gilt für die in a) ermittelten Lösungen

A= 2C -1 > 0 und B= 2 -3C > 0

--> C > 1/2 und --> C < 2/3

Von der Grundsorte C muss demnach mehr als ein halber Liter und weniger als ein 2/3 Liter genommen werden.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8194
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 25 März 2018 - 18:50:49    Titel:

Klassischer Fall von unterbestimmtem Gleichungssystem. Und immer wieder gerne genommen mit Aufgaben zur Verteilungsrechnung: Ja, ist so richtig gelöst.

Gruß
mike
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1263
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 25 März 2018 - 18:57:09    Titel:

Danke
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1263
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 25 März 2018 - 21:40:19    Titel:

Allgemein, in ceteris paribus, kann man auch formulieren:

Der Fruchtanteil von A betrage a%, der von B b%, und der von C c%.
Durch Mischung sollen D Liter Fruchtsaft entstehen mit einem Fruchtgehalt von d%.

Dann entsteht diese LGS mit den Lösungsvariablen A,B,C:

A + B + C = D
aA + bB + cC = dD

mit der Lösungsmenge
L={ (A,B,C) | A=((c-b)*C + (b-d)*D)) / (b-a) ; B=((d-a)*D + (a-c)*C)) / (b-a) }

Für C gilt dann:

C > D*(d-b)/(c-b)

und

C < D*(a-d)/(a-c)


Ich hoffe es ist übersichtlich genug, ansonsten tippe ich es noch einmal in LaTEX ab. Für die Werte aus der originalen Aufgabe stimmen die allgemeinen Ergebnisse jedenfalls.
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