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Integral Int [(1+x²)^(1/2)]dx
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chris108
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Anmeldungsdatum: 08.08.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 08 Aug 2005 - 11:43:34    Titel: Integral Int [(1+x²)^(1/2)]dx

Hi,
habe hier ein Integralbeispiel, welches ich nicht lösen kann.

Int [(1+x²)^(1/2)]dx

Ich hab zwar das Ergebnis, kenne aber den Lösungsweg nicht.

Lösung: 1/2 * (x*(1+x²)^(1/2)+ln|x+(1+x²)^(1/2)|)+C
oder
1/2 * (x*(1+x²)^(1/2)+arcsinhx)+C

Ich bitte um die Erklärung des Lösungsweges!


Zuletzt bearbeitet von chris108 am 11 Aug 2005 - 09:23:00, insgesamt 2-mal bearbeitet
Bumble
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Anmeldungsdatum: 17.11.2004
Beiträge: 48
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2005 - 14:22:43    Titel:

Hi,
da hast du dir ja ein schönes Bsp. rausgesucht.
Int [(1+x²)^(1/2)]dx = Int [1*(1+x²)^(1/2)]dx so nun partiell integrieren
= x*(1+x²)^(1/2) - Int [x²/(1+x²)^(1/2)]dx so nur zur veranschaulichung schreibe ich dies nun in eine Zeile
Int [(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2) - Int [x²/(1+x²)^(1/2)]dx
und rechne nun +Int [x²/(1+x²)^(1/2)]dx auf beiden Seiten
Int [(1+x²)^(1/2)]dx+ Int [x²/(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2)
nun fasse ich die beiden Integrale zusammen
Int [(1+x²+x²)/(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2)
Int [(2x²+1)/(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2)
so jetzt kommt eigentlich erst ein kleiner Kniff. Wenn statt 2x²+1 da 2x²+2 stehen würde könnte man 2 ausklammern und dann teilen und hätte den gewünschten term dastehen also rechnet man auf beiden Seiten +Int [1/(1+x²)^(1/2)]dx
Int [(2x²+2)/(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2) + Int [1/(1+x²)^(1/2)]dx
2*Int [(1+x²)^1/(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2) + Int [1/(1+x²)^(1/2)]dx
2*Int [(1+x²)^(1/2)]dx = x*(1+x²)^(1/2) + Int [1/(1+x²)^(1/2)]dx
Int [(1+x²)^(1/2)]dx = 0,5*(x*(1+x²)^(1/2) + Int [1/(1+x²)^(1/2)]dx)
= 0,5*(x*(1+x²)^(1/2) + area sinhx)

ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte.
chris108
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Anmeldungsdatum: 08.08.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 08:43:30    Titel:

Danke!!!
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