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Wärmestrom und Abkühlung berechnen
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Troilier
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Anmeldungsdatum: 25.07.2018
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 25 Jul 2018 - 10:05:40    Titel: Wärmestrom und Abkühlung berechnen

Ich muss für meine Bachelorarbeit ein selbstständiges Projekt durchführen. Ich komm da leider nicht weiter, da ich ein bisschen auf dem Schlauch stehe.
Ich habe das Problem mal in eine Fragestellung verwandelt.

Ein Raum der zur Trocknung von Materialen dient und den Maßen h=2,5m und b,l =1m wird konstant durch einen Abgasvolumenstrom (Luft V/t = 2m/s, cp = 1,005 kJ/kg K, Dichte, 1,225 kg/m³) auf 40°C beheizt. Dieser Raum besitz einen Dämmung mit einem U-Wert von 0,35 W/m² K. Am Wochende wird die Produktion abgeschaltet und der Raum wird nicht mehr beheizt.

Wie lange dauert es bis er die Umgebungstemperatur von 20°C annimmt.

Meine Idee:

Q = U (Ti - Ta) * A * Δt ( Wärmeübertragung)

Q = V * ρ * c * (Ti - Ta) ( Wärmemenge)

Die beiden Gleichstellen und dann kommt raus: (h * ρ * c)/ U = Δt

Ich bin mir nicht sicher ob diese Formel stimmt, da Temperaturdifferenz überhaupt nicht vorkommt. Und natürlich ist dies eine exponentielle Abnahme aber die differenziele Form bekomme ich nicht hin.

Zusätzlich muss ich dann noch die Wärmeabstrahlung im Behälter betrachten und den die Wärmeabgabe der inneren Teile...

Ich wäre froh wenn mir jemand sagen kann ob ich oben richtig gerechnet habe
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8243
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BeitragVerfasst am: 25 Jul 2018 - 12:23:54    Titel:

Der Raum wird durch den Abgasvolumenstrom beheizt. Am Wochenende wird dies abgeschaltet. Dann herrscht drinnen Ti=40 °C und draußen Ta=20 °C. Die Temperatur fällt dann drinnen fortwährend, bis die Außentemperatur erreicht ist. (Denkt man, dazu aber erst später und noch nicht in diesem Beitrag.)

Deine erste Formel beschreibt die Wärmemenge, die durch eine Fläche in der Zeit Δt hindurchgeht, wenn dort die Temperaturdifferenz Ti-Ta anliegt, und dies während der ganzen Zeit Δt. Das ist bei Dir aber nicht der Fall, weil du eine veränderliche Temperaturdifferenz hast.

Deine zweite Formel kann ich nicht recht deuten. Allein schon, weil du eingangs den Volumenstrom mit V/t bezeichnet hast, aber ihm das Maß einer Geschwindigkeit (2 m/s) gegeben hast. In der zweiten Formel ist sicher etwas anderes mit dem V gemeint. Der Formel nach (Volumen, Dichte, Wärmekapazität?) geht es wohl um die Wärmemenge, die dem Inneren entnommen wird, wenn sich dort die Temperatur von Ti auf Ta verringert.

Deine zweite Formel brauchst Du sicherlich, an der ersten musst Du aber noch was tun: Du hast eine mit der Zeit veränderliche Temperatur Ti(t) im Inneren. Damit ist auch die Temperaturdifferenz gegen den Außenraum veränderlich, nämlich Ti(t)-Ta. (Ta ist konstant). Mit dieser veränderlichen Differenz ändert sich auch der Wärmedurchsatz durch die Wände. Nämlich zu ΔQ/Δt = U * (Ti - Ta) * A; besser dQ/dt = U * (Ti(t)-Ta) * A.

Nun muss der Wärmedurchsatz durch die Wand genauso groß sein wie die Änderung der im Inneren enthaltenen Wäremenge. Die Wärmemenge dort wird durch die zweite Formel beschrieben. Wenn Du sie ableitest, bekommst du ihre Änderung. Zeitveränderliche Größen darin sind Q(t) und Ti(t); alle anderen sind Konstanten. Also wird Q = V * ρ * c * (Ti-Ta) durch Ableiten zu dQ/dt = V * ρ * c * dTi/dt. (Die konstanten Faktoren V, ρ und c bleiben erhalten, der konstante Summand Ta fällt weg.)

Jetzt hast du zwei Gleichungen für dQ/dt. Wenn du die gleichsetzt, bekommst du eine Gleichung, die als variable Größe nur Ti(t) enthält, das allerdings sowohl pur als auch als Zeitableitung. Also eine Differentialgleichung. Stelle die erstmal auf und dann sehen wir weiter.

(Anmerkung: Es handelt sich hier letztlich um dieselbe Dgl. 1 Ordnung, die z. B. bei der Aufladung eines Kondensators auftritt.)

Gruß
mike
Troilier
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Anmeldungsdatum: 25.07.2018
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 25 Jul 2018 - 23:42:40    Titel:

Wenn man die beiden Gleichungen gleichsetzt erhält man

dT / (Ti(t)-Ta) = U * A *dt / ( ρ * V * c)


Die rechte Seite besteht nur aus Konstanten also kann man alle Konstanten zusammenfassen in k und dann leitet sie:

k * 1 * dt -> was sich dann zu k * t ergibt.

Aber wie bekomme ich die rechte Seite gelöst.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
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BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 07:28:48    Titel:

Das stimmt leider von vorne bis hinten nicht.

* Du weißt offenbar nicht, was ein Differentialquotient dy/dx bedeutet. Denn du behandelst ihn, als wenn er ein Bruch wäre (was er nicht ist) und lässt dann auch mal einfach kommentarlos das d verschwinden.
* Du machst Fehler beim Umgang mit Brüchen, so dass Größen, die in den Zähler gehören, plötzlich im Nenner stehen usw.
* Du willst eine einzelne Seite einer Gleichung lösen.

Und so weiter. Da fehlen Grundlagen! Das ist etwa so, als wolltest Du jemandem eine Rechnung schreiben, weißt aber nicht, was die komischen Zeichen 1, 2, ..., € usw. bedeuten, geschweige denn, wozu das Komma dient.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
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BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 08:39:54    Titel:

Also machen wir es etwas kleinschrittiger.

Ich hatte dir gestern zwei Gleichungen hingeschrieben. Die lauten:



und



Die solltest Du gleichsetzen. Das Gleichsetzen beruht auf dem Äquivalenzaxiom, nämlich: "Wenn zwei Größen einer Dritten gleich sind, so sind sie untereinander gleich."

Die zwei Größen, um die es da geht, sind hier die rechten Seiten der beiden Gleichungen. Die dritte Größe, mit denen beide gleich sind, ist hier die linke Seite, die in beiden Gleichungen übereinstimmt.

Was liefert jetzt das Gleichsetzen?

Gruß
mike
Troilier
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Anmeldungsdatum: 25.07.2018
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 09:19:33    Titel:

Mir ist das natürlich klar mit den Gleichungen umstellen. Ich hatte eher darauf abgezielt auf das Trennen der Variablen um die DGL zu lösen.

Aber vielleicht lag es einfach daran, dass es sehr spät war Very Happy

Die Gleichgesetze Gleichung lautet.

U * ( Ti(t) - Ta) * A = V * ρ * c * dTi/dt
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8243
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BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 09:33:35    Titel:

Genau. Und die schauen wir uns jetzt erstmal genauer an.
Wo sind da variable Größen enthalten und welche sind Konstanten?

Gruß
mike

P.S.: Trennung der Variablen wird gleich nur die Methode für die homogene Gleichung sein. Daher müssen wir erstmal etwas schärfer draufgucken.
Troilier
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Anmeldungsdatum: 25.07.2018
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 09:52:12    Titel:

Variabel ist nur Ti(t). Bei dem Rest handelt es sich alles um Konstanten
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8243
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BeitragVerfasst am: 26 Jul 2018 - 10:07:49    Titel:

Und natürlich ist auch variabel.

Daher ist es hilfreich, die Gleichung erstmal zu ordnen, und zwar absteigend nach den Ableitungsordnungen.

Gruß
mike
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2205

BeitragVerfasst am: 05 Aug 2018 - 20:38:48    Titel:

Jens Blume hat folgendes geschrieben:

Der Differentialquotient dy/dx ist ein Bruch, wenn man dy und dx als jeweils als Zahlen betrachtet.

Im Differentialquotienten sind aber weder dx noch dy reelle Zahlen.
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