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Flächenintegral Projektion auf xy-Ebene
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SchwarzWeißSchwarz
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Anmeldungsdatum: 21.07.2018
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2018 - 16:29:29    Titel: Flächenintegral Projektion auf xy-Ebene

Laut https://books.google.de/books?id=ZDUfBAAAQBAJ&pg=PA463&lpg=PA463&dq=Projektion+fl%C3%A4chenelement+auf+xy+Ebene&source=bl&ots=HyvaGToNdT&sig=ql7Tc9yaxZPsa06gSSP8ZN9q5YM&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwi535_Kw7_cAhWNLFAKHVeUBoQQ6AEwA3oECAQQAQ#v=onepage&q=Projektion%20fl%C3%A4chenelement%20auf%20xy%20Ebene&f=false gilt:

Um alle relevanten Seiten der verlinkten Seite sehen zu können hilft es etwas nach oben und unten zu scrollen, und oh Wunder, nicht nur die Seite 463 sondern auch die Seite 462 erscheint)

Die Projektion eines differentiellen Flächenelementes dA in die xy-Ebene ergibt das infinitesimale Rechteck mit dem Flächeninhalt dA'=dydx. Andererseits ist aber diese Projektion auch das skalare Produkt dA (dA mit Vektorpfeil) mit dem Einheitsvektor e_z (e_z mit Vektorpfeil)

Gibt es eine anschauliche Erklärung für die Richtigkeit des letzten Satzes?[/url]
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8241
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2018 - 17:19:57    Titel:

Der Vektor steht senkrecht auf dem Flächenelement und hat als Betrag dessen Fläche.

Der Winkel zwischen diesem Vektor und dem Einheitsvektor in z-Richtung ist gerade der Winkel, um den das Flächenelement gegen die Waagerechte verkippt ist.

Die Projektion auf die xy-Ebene verkleinert die Fläche um den Faktor .
(Plausibilisierung:
Fläche parallel zur xy-Ebene --> , --> Fläche in der Projektion unverändert
Fläche senkrecht zur xy-Ebene --> , --> Fläche verschwindet in der Projektion)

Das Skalarprodukt bewirkt genau dasselbe: .

Gruß
mike
SchwarzWeißSchwarz
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Anmeldungsdatum: 21.07.2018
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2018 - 18:13:12    Titel:

So weit so klar/bekannt. Meine Frage bezieht sich jedoch auf den allgemeinen Fall.

Spezieller Fall
Ist das Flächenelement dA nur um die x-Achse gedreht oder nur um die y-Achse gedreht lässt sich leicht geometrisch über die Zusammenhänge, die bezüglich der Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gelten, nachvollziehen warum die Gleichung richtig ist.
Beispiel für einfache Drehung um x-Achse: siehe http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral.pdf Seite 1

Allgemeiner Fall
Wie lautet jedoch die Begründung für den Fall, bei dem eine Drehung der Fläche sowohl um die x-Achse als auch um die y-Achse erfolgt
Beispiel für Drehung um x- und y-Achse: siehe http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral.pdf Seite 5

Für beide Fälle gilt die Gleiche Formel, jedoch erfolgt im speziellen Fall nur eine Drehung um eine Achse. Bei allgemeinen Fall jedoch eine Drehung um beide möglichen Achsen.

Allgemeiner Fall
Der Winkel zwischen Flächenvektor dA und e_z ist nun gleich dem maximale Winkel der Fläche dA zu seiner ebenen Projektion. Das lässt sich für mich nicht so einfach über die Winkelbeziehungen in einem rechtwinklig Dreieck logisch nachvollziehen, wie im speziellen Fall. Vielleicht gibt es aber auch keine anschauliche Erklärung für diesen Fall...
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8241
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Jul 2018 - 19:52:16    Titel:

Das ist völlig schnurzpiepe. Wenn es beispielsweise nur für die Drehung des Flächenelements um die x-Achse offensichtlich ist, dann mache Dir folgendermaßen klar, dass es auch für beliebige andere Drehachsen gilt:

Verdrehe dein Koordinatensystem doch einfach so, dass dA nur um die x-Achse gedreht ist, dass der Winkel also zwischen der y-Axhse und der Flächennormalen gemessen wird.

Dann stimmt die Sache doch ganz offensichtlich. Und dann drehe das Koordinatensystem zurück in die ursprüngliche Lage.

Gruß
mike
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