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Funktion aufstellen dann Tiefpunkt berechnen
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loni clowni
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Anmeldungsdatum: 10.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2005 - 19:50:57    Titel: Funktion aufstellen dann Tiefpunkt berechnen

hallo! Ich muss von dem Graphen, der sich aus den folgenden Werten ergibt, den Tiefpunkt ermitteln. Wie geht das?

x / t
0 / 1,58
1 / 1,5
2 / 1,45
3 / 1,4
4 / 1,37
5 / 1,39
6 / 1,5

vielen dank, falls mir jemand zumindest beim Aufstellen der Formel helfen kann!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2005 - 19:55:01    Titel:

Es ergeben sich je nach Modell (also Funktionsart, von der Du glaubst, dass die deine Werte rausgibt) unterschiedliche Antworten. Deine Aufgabe ist unterbestimmt. Vielleicht willst Du mit Polynomen approximieren (interpolieren)? Sieht eher danach aus, als ob man mit Grad 2 ganz gut zurecht käme.
loni clowni
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Anmeldungsdatum: 10.08.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2005 - 20:21:43    Titel:

ich habe leider keine ahnung was ich machen will/muss. ich weiß nur, dass ich die Funktion f(x) dann zweimal ableiten muss...
algebrafreak
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2005 - 21:01:07    Titel:

Dann hast Du ein Problem, weil ich das auch nicht weiß. Ich kann Dir schon mal sagen, dass direkt durch deine Punkte kein Polynom vom Grad 1,2,3 und 4 durchgeht.

D.h. Wenn Du alle Vorgaben exakt erfüllen willst, so musst Du mit einem Polynom vom Grad mindestens 6 interpolieren.

Ich approximiere mal mit Grad 2. Interessiert mich einfach. Was einfaches: Im quadratischen mittel.

Code:

12: m := mat((0,0,1),(1,1,1),(4,2,1),(9,3,1),(16,4,1),(25,5,1),(36,6,1));


     [0   0  1]
     [        ]
     [1   1  1]
     [        ]
     [4   2  1]
     [        ]
m := [9   3  1]
     [        ]
     [16  4  1]
     [        ]
     [25  5  1]
     [        ]
     [36  6  1]


13: mt := mat((0,1,4,9,16,25,36),(0,1,2,3,4,5,6),(1,1,1,1,1,1,1));


      [0  1  4  9  16  25  36]
      [                      ]
mt := [0  1  2  3  4   5   6 ]
      [                      ]
      [1  1  1  1  1   1   1 ]


14: y := mat((79/50),(3/2),(29/20),(7/5),(137/100),(139/100),(3/2));


     [ 79  ]
     [---- ]
     [ 50  ]
     [     ]
     [  3  ]
     [ --- ]
     [  2  ]
     [     ]
     [ 29  ]
     [---- ]
     [ 20  ]
     [     ]
     [  7  ]
y := [ --- ]
     [  5  ]
     [     ]
     [ 137 ]
     [-----]
     [ 100 ]
     [     ]
     [ 139 ]
     [-----]
     [ 100 ]
     [     ]
     [  3  ]
     [ --- ]
     [  2  ]


15: xty := mt*y;


       [ 13057 ]
       [-------]
       [  100  ]
       [       ]
       [ 3003  ]
xty := [------ ]
       [ 100   ]
       [       ]
       [ 1019  ]
       [------ ]
       [ 100   ]


16: a := (mt*m)^(-1)*xty;


     [  67   ]
     [------ ]
     [ 4200  ]
     [       ]
     [  - 23 ]
a := [-------]
     [  200  ]
     [       ]
     [  239  ]
     [ ----- ]
     [  150  ]


Der erste eintrag entspricht a, der zweite b und der dritte c in

f(x) = ax^2+bx+c

Probe:

Code:

>> a := 67/4200;

                                  67/4200
>> b := -23/200;

                                  -23/200
>> c := 239/150;

                                  239/150
>> f := x -> float(a*x^2+b*x+c);

                        x -> float(a*x^2 + b*x + c)
>> float(f(0)-1.58);

                               0.01333333333
>> float(f(1)-1.5);

                              -0.005714285714
>> float(f(2)-1.45);

                              -0.02285714286
>> float(f(3)-1.4);

                              -0.008095238095
>> float(f(4)-1.37);

                               0.01857142857
>> float(f(5)-1.39);

                               0.02714285714
>> float(f(6)-1.5);

                              -0.02238095238


Also die maximale Abweichung ist 0.027. Passt doch gut.
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