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lösen einer Gleichung mit komplexe Zahlen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> lösen einer Gleichung mit komplexe Zahlen
 
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Kollege Krapp
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Anmeldungsdatum: 11.08.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 02:07:48    Titel: lösen einer Gleichung mit komplexe Zahlen

Tach auch ...

Ich bräucht mal dringend eure Hilfe

Ich hab eine Gleichung und soll alle komplexe Zahlen bestimmen die diese erfüllen und ich hab keine Ahnung Embarassed

Die Gleichung lautet:

|z|=z²-iz+1

für eine gute Erklärung und einen guten Lösungsweg wäre ich sehr dankbar

Thx Kollege Krapp
rnd
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 08:54:41    Titel:

|z|=z²-iz+1 mit z = a + ib
------------------------------

|z|=z²-iz+1 |ersetzen

sqrt(a² + b²) = (a + ib)² - i(a + ib) + 1 | auflösen

sqrt(a² + b²) = a² + 2aib + i²b² - ia - i²b + 1 | i² = -1

sqrt(a² + b²) = a² + 2aib - b² - ia + b + 1 | zusammenfassen

sqrt(a² + b²) = a² - b² + b + 1 + i(2ab - a)

Man erkennt, dass der Imaginärteil gleich 0 sein muss. Daraus folgt

2ab - a = 0 | a ausklammern
a(2b - 1) = 0 | /(2b-1)
a = 1/(2b -1)

Hier muss man Aufpassen: a=b=0 ist eine Lösung, die der weitere Weg nicht berücksichtigt. Durch prüfen im Kopf, erkennt man aber, dass es keine Lösung der Aufgabe ist.

Auserdem muss noch der Realteil der Gleichung genügen:

sqrt(a² + b²) = a² - b² + b + 1 | ersetzen

sqrt((1/(2b -1))² + b²) = (1/(2b -1))² - b² + b + 1 | auflösen

sqrt((1/(4b² -4b +1)) + b²) = (1/(4b² -4b +1)) - b² + b + 1 | auflösen

sqrt(1/(4b²) -1/(4b) +1/1 + b²) = 1/(4b²) -1/(4b) +1/1 - b² + b + 1 | zusammenfassen

sqrt(1/(4b²) -1/(4b) +1/1 + b²) = -b² +2 + 1/(4b²) -1/(4b) + b


Jetzt beide Seiten quadrieren und nach b auflösen. Ich hoffe ich habe bis hierher keine Fehler drin.
füchslein
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Anmeldungsdatum: 11.08.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 13:13:26    Titel:

also beim Schritt
a(2b - 1) = 0
haben wir das immer anders gemacht - da gibt's nämlih die Möglichkeit das a=0 oder das 2b-1 =0 ist
-> b = 1/2

damit würde die Rechnung dann wohl anders weitergehen oder?
(na ich guck ob ichs eben mal hinkrieg)

edit: diesen schritt von dir verstehe ich auch nicht ganz:

Zitat:
a(2b - 1) = 0 | /(2b-1)
a = 1/(2b -1)


wenn man 0 durch irgendwas teilt, kommt imma 0 raus
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 13:29:05    Titel:

stimmt das lässt nur den schluss zu, dass a=0 oder 2b-1=0<=>b=1/2.
butterflower
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 13:49:13    Titel:

würde sagen, das zauberwort heißt Fallunterscheidung.
Fall 1: a=0
Lösen der Gleichung b= -b² + b+ 1 => b = +/- 1
Fall 2 : b = 0,5
Lösen der Gleichung sqrt( a² +0,25) = a² + 1,25. Das gibt ne biquadratische Gleichung und man kann wenn man will, substituieren, z.B. a² =: c und man hat ne quadratische Gleichung. Sollten dann für a im Allgemeinen 4 Lösungen rauskommen. Rolling Eyes
füchslein
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Anmeldungsdatum: 11.08.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 14:41:46    Titel:

dann hätte ich für a=0 raus:

b=-b² +b +1 +2bi /-b ; /-1
(irgendwie hast du in der Gleichung schon kein i mehr drinne - hab ich was übersehen?)

0=b² - 2bi -1
-> b=2i/2 +/- sqrt( (-2i)²/4 + 1) <- Wurzel wird meiner Meinung nach 0
-> b = i (doppelte Lösung )



b=1/2

sqrt(a²+1/4) = a² + ai -ia +1 -1/4 + 1/2

sqrt(a²+1/4) = a² + 5/4

und nu hackt's bei mir grad - ach ja substituieren sollt ich ja

quadriert und umgestellt hab ich da:
0= a^4 + 3/2a² + 21/16 /a²=c
0= c² + 3/2c + 21/16
c1,2= -3/4 +- sqrt(3/16 - 21/16)

och nö - ich kann doch keine negativen klammern lösen Rolling Eyes
ich bin jetzt mal faul und las euch Fehler suchen Cool


Zuletzt bearbeitet von füchslein am 11 Aug 2005 - 15:00:36, insgesamt einmal bearbeitet
rnd
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 14:49:19    Titel:

füchslein hat folgendes geschrieben:
edit: diesen schritt von dir verstehe ich auch nicht ganz:

Zitat:
a(2b - 1) = 0 | /(2b-1)
a = 1/(2b -1)


wenn man 0 durch irgendwas teilt, kommt imma 0 raus


Ist ja auch Mist den ich da verzapft habe. Smile Das mit der Fallunterscheidung ist richtig.
rnd
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Anmeldungsdatum: 27.07.2005
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 14:55:57    Titel:

butterflower hat folgendes geschrieben:
würde sagen, das zauberwort heißt Fallunterscheidung.
Fall 1: a=0
Lösen der Gleichung b= -b² + b+ 1 => b = +/- 1


Muss die Gleichung dann nicht so lauten?

|b| = -b² + b+ 1 => b = 1
füchslein
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Anmeldungsdatum: 11.08.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 15:02:42    Titel:

wieso habt ihr da alle das i rausgeschmissen Question Question Question Question

*verwirrtsei*
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 15:44:31    Titel:

auf die schnelle würd ich sagen, weil der betrag reell ist und damit der imaginäranteil 0 ist.
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