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Stetigkeit einer Funktion
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Scorsese
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Anmeldungsdatum: 11.08.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 18:36:29    Titel: Stetigkeit einer Funktion

Schönen guten Abend,

ich fange im September ein Wirtschaftsingenieurstudium an und befinde
mich momentan in einem privaten Mathe-Brückenkurs in Eigenregie.
Ist Stetigkeit eigendlich eine Vorraussetzung für ein Studium, im Bosch-Brückenkurs ist sie jedenfalls enthalten(?!?)

Wer will und kann mir folgende Aussagen mal plausibel machen unter der Vorraussetzung, dass ich weiß, was ein Grenzwert und eine Funktion ist
(sonst nichts), am besten ganz einfach und ganz laaaaange erklärt:


1.) Stetigkeit einer Stelle einer Funktion im allgemeinen verstehe ich nicht

2.) Stetigkeitskriterium im speziellen:
Die Funktion f ist an der Stelle X0 genau dann stetig, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem belibigen Epsilon > 0 gibt es im allg. von Epsilon und X0 abhängige Zahl
Sigma > 0 sodass für alle X E D mit |X-X0| < Sigma gilt |f (x) - f(X0)| < Epsilon
saargy
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 39
Wohnort: IGB

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 20:00:09    Titel:

Stetigkeit einer Funktion bedeutet, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert an jeder Stelle gleich ist.
Das heißt, der Wertebereich hat überall einen endlichen Wert, es gibt also keine Lücken und Polstellen.

Google einfach mal nach dem Thema und du wirst mit Stetigkeitsdefinitionen überschüttet.
Bumble
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Anmeldungsdatum: 17.11.2004
Beiträge: 48
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2005 - 10:39:41    Titel:

zu 1) damit eine Funktion an einer bestimmten Stelle x0 stetig ist, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein.
a) die Funktion muss für x0 definiert sein.
Es gibt Funktionen die an einigen Stellen nicht definiert sind:
z.B. f(x)= 1/x ist für x=0 nicht definiert also auch nicht stetig
b) es darf keine Sprünge geben
Bsp. stell dir eine Funktion vor, die für negative x auf -1 abgebildet wird, für x=0 auf die 0 und für positive x auf +1
(ich hoffe dass du dir dies vorstellen kannst)

zu 2) Stetigkeitsdefinition:
in Worten! für jedes epsilon größer 0 existiert mindestens ein sigma größer 0 so dass gilt: |f(x)- f(x0)| ist kleiner als epsilon.
so wie soll man sich das vorstellen. Wir nehmen als bsp. eine ganz einfache Funktion f(x) = x (die ist stetig) und x0 = 1 und f(x0) = 1
die große Frage ist nun was ist epsilon und was sigma?
(das ist mit Worten gar nicht so leicht zu erklären)
also jeder Punkt hat Koordinaten im einfacheren Fall betrachtet man einen 2-dimensionalen Raum (Ebene). Es gibt also eine x- und eine y-Achse, demnach hat jeder Punkt einen x- und einen y-Wert (bsp. auf f(x) = x liegt der Punkt (1/1)).
Also sigma ist Zunahme um den x-Wert (nach dem Bsp. f(x0+sigma) bsp. sigma = 0,5 dann wär dies f(1,5))
epsilon ist nun die "Zunahme" um den y-Wert. (ich habe hier Zunahme in Anführungszeichen gesetzt, weil es sich eigentlich nicht um eine Zunahme handelt).
bsp. sigma = 0,5 also f(1,5) = 1,5 dann wär epsilon = 0,5
(1,5 - 1)
So man geht aber anders herum an die Sache heran, man sagt zu jedem epsilon das größer als null ist existiert ... , d.h. eigentlich wählt man ein epsilon und schaut dann, ob es ein sigma gibt für dass gilt:
|f(x0+sigma) - f(x0)| < epsilon
Bsp. epsilon = 0,1 ist nun sigma = 0,001 so folgt |f(1,0001)-f(1)| = 1,0001 - 1 = 0,0001 und ist kleiner als 0,1
Wenn man zu jedem epsilon > 0 ein sigma findet so dass gilt:
|f(x)-f(x0)|< epsilon, dann ist eine funktion an der Stelle x0 stetig, gilt dies auch noch für beliebige x0 so ist f stetig.

Ich hoffe dass du es ein wenig verstanden hast, (ist echt schwer zu erklären) wenn du noch fragen hast schreib einfach nochmal.
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