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Bedingung für Tangentialebene
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loplop
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Anmeldungsdatum: 14.08.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 14 Aug 2005 - 10:20:09    Titel: Bedingung für Tangentialebene

Es sind gegeben:

Kugel: Mittelpunkt (1;2;0) und Radius r = 5
und der Punkt P (-2;7;3)

Die Aufgabe ist die Bedingung für die Tangentialebene anhand eines Normalenvektors der Ebene zu formulieren.

Ich habe mir nun 2 Gleichungen aufgestellt

(1) ( vec{b} - vec{m} ) = vec{n} --> vec{n}^2 = r ^2

vec{b} - Ortsvektor des Berührpunktes
vec{m] - Ortsvekrot des Mittelpunktes
vec{n} - Normalenvektor der Tangentialebene mit (n_{1;} n_{2}; n_{3} )

(2) ( vec{p} - vec{m} ) --> vec{n} = r^2

vec{p} - Ortsvektor des Punktes P

Daraus ergeben sich die Gleichungen

(1) n_{1}^2 + n_{2}^2 + n_{3}^2 = 25
(2) -3n_{1} + 5n_{2} + 3n_{3} = 25


Ich habe die zweite Gleichung nach n_{2} umgestellt und in (1) eingesetzt

Mein Problem war nun, dass sich eine Gleichung ergab, die sich nicht durch eine Abhängigkeit darstellen ließ.

Wo könnte der Fehler sein oder wie würdet ihr an diese Sacheverhalt herantreten ( --> möglicherweise andere Ansätze) ?

Über eine schnelle Antwort würde ich mich freuen.
Danke schon mal im Voraus!
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2005 - 07:55:58    Titel:

Hallo loglop,

Du solltest zuerst mal überprüfen, ob dein Punkt auf der Kugel liegt. Nur dann gilt deine Bedingung, die du unter (1) aufgestellt hast.

Wenn du davon ausgehst, dass der Punkt ausserhalb der Kugel liegt, dann kannst du wie folgt vorgehen:

Verschiebe die Koordinatesystem in den Ursprung.
Die Tangentialebenen an der Kugel haben dann immer den Abstand r zum Ursprung.
Die Hessesche Normalform einer Ebene (e: n*p = d mit n = Normalvektor, p = ein Punkt der Ebene, d = konstante Zahl) gibt mit d den Abstand zum Ursprung an.

Damit kannst du eine Bedingungsgleichung für die Tangentialebenen aufstellen.

Gruß
Dirk
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